Question

已知f（x）为二次函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x²-4x 则f(x)=? 求详细过程

Answer 1

解：设f（x）=ax²+bx+c，
∴f（x+1）=a（x+1）2+b（x+1）+c，f（x-1）=a（x-1）2+b（x-1）+c，
∴f（x+1）+f（x-1）=2ax²+2bx+2a+2c，
∵f（x+1）+f（x-1）=2x²-4x，
∴2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x，
∴a=1，b=-2，c=-1，
则f（x）=x²-2x-1．
故答案为：f（x）=x²-2x-1．

Answer 2

设f（x）=ax²+bx+c（a≠0），
所以f(x+1)+f(x-1)=a(x+1)²+b(x+1)+c+a(x-1)²+b(x-1)+c=2x²-4x
所以2ax²+2bx+2a+2c=2x²-4x
（由此等式可看出各部分之间的等价关系）
所以2a=2,2b=-4,2a+2c=0
所以a=1,b=-2,c=-1
所以f(x)=x²-2x-1．

Answer 3

根据题意，设该2次函数自变量为z,即 f（z）=aZ2+bZ+c
f(x+1)+f(x-1)=a（x+1)2+b(x+1)+c+a(x-1)2+b(x-1)+c=2aX2+2bX+2a+2c=2x²-4x

因此：2a=2;2b=-4;2a+2c=0
解得：a=1，b=-2，c=-1
所以 原二次函数是：f（z）=aZ2+bZ+c=Z2-2Z-1
换成x:故答案为：f（x）=x²-2x-1

这种题需要区分好自变量，不要混淆
另外设一自变量区分即可，属于常规题型~