Question

已知x+x分之一等于根号5,求X的立方加X的立方分之一

Answer 1

这个问题主要考察因式分解的掌握与活用。

求解过程需要用到两个公式：
(a+b)^2=a^2+2ab+b^2（平方展开式）
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)（三次方分解式）
这两个公式都是中等数学里面非常常用的公式，希望能够熟记。

下面解题：
将(x+(1/x))^2利用平方展开式，有x^2+2+(1/x)^2=5，于是就有x^2+(1/x)^2=3
求出这个是因为后面要用到x^2+(1/x)^2这一项来计算结果

对需要求的x^3+(1/x)^3利用三次方分解式，即
x^3+(1/x)^3=(x+(1/x))(x^2-1+(1/x)^2)=(x+(1/x))(x^2+(1/x)^2-1)…………(1)
化到这里，相信你也会做了，因为我们已经知道x+(1/x)=根号5，x^2+(1/x)^2=3
将两式带入(1)式，就得到
x^3+(1/x)^3=(x+(1/x))(x^2+(1/x)^2-1)=(根号5)*(3-1)=2倍根号5
这就得到了最后的结果。

其实整个过程并不复杂，就是利用两个分解式，利用待求式的特点，将未知化为已知，然后利用已知的值进行整体代换即可，希望你能体会。

叙述有点繁琐，希望你能有所进步，如果有不明白的，欢迎 h i 我。