Question

已知圆C：X^2+Y^2-2X-2Y+1=0,直线L:Y=KX,且L与圆C相交于P、Q两点，点M（0，B），且MP⊥MQ.

（1）求关于B和K的二元方程；(2)求K的最小值

Answer 1

解：园C：x^2-2x+1+y^2-2y+1-2=0，即：(x-1)^2+(y-1)^2=1，圆心为(1,1)，半斤为1。---与此题无关。

第一问：点M（0，B），且MP⊥MQ，可得直线MP和直线MQ的斜率之积等于-1.
设P(x1,y1),Q(x2,y2)，则有[x1/(y1-b)]*[x2/(y2-b)]=-1，将其带入y=kx化简可得：
(x1*x2)/[(k^2)*x1*x2-k*b*(x1+x2)+(b^2)]=-1 -----(1)
联立园C方程和直线L方程消去y并化简整理可得：(1+k^2)x^2-2(1+k)x+1=0 ----(2)
易知x1,x2为上述方程的两个根，有韦达定理可得：x1+x2=2(1+k)/(1+k^2)，x1*x2=1/(1+k^2) --(3)
将(3)的两个方程带入(1)中化简整理可得：(1+k^2)b^2-2k(1+k)b+1+k^2=0 ----(4)
(4)式即为第一问的结果。

第二问：通过方程(2)式对判别式大于0得：k>0。
因为b存在，所以以b为变量的方程(4)有根，这个方程的判别式会大于等于0，
整理得：(k^2)*(1+k)^2-(1+k^2)^2>=0，化简并分解因式：(k-1)(2k^2+k+1)>=0.
这样比较简单了，第二项恒为正(如有疑问欢迎追问)，所以k>=1。
综上可得k的取值范围是k>=1，所以最小值为k=1.

对于字母，大写一般都是代表点的名称，小写代表某个值，书写的时候最好养成一个好习惯！