Question

已知圆M：x2+（y-4）2=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B

求证：直线AB必过定点，并求出该定点的坐标

Answer 1

设 P（a，b），则 a-2b=0 ，
过 P 向圆引两条切线，切点分别为 A、B ，则直线 AB 的方程为
ax+(b-4)(y-4)=4 ，（这有现成的公式，其实就是当 P 在圆上时的切线方程）
化简得 ax+(b-4)y-4b+12=0 。

分离变量得 a*x+b*(y-4)-4(y-4)-4=0 ，
令 y-4= -2x ，且 -4(y-4)-4=0 ，解得 x= 1/2 ，y=3 ，
因此直线AB恒过定点（1/2，3）。

Answer 2

已知圆M：x2+（y-4）2=4，直线l的方程为x-2y=0，点P是直线l上一动点，过点P作圆的切线PA、PB，切点为A、B，求证：直线AB必过定点，并求出该定点的坐标

证明：
设 P（a，b），则 a-2b=0 ，
过 P 向圆引两条切线，
切点分别为 A、B ，
则直线 AB 的方程为
ax+(b-4)(y-4)=4 ，
化简得 ax+(b-4)y-4b+12=0 。
整理得：
a*x+b*(y-4)-4(y-4)-4=0 ，
令 y-4= -2x ，且 -4(y-4)-4=0 ，
解得 x= 1/2 ，y=3 ，
因此直线AB恒过定点（1/2，3）。
命题获证！

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