Question

一道积分问题的求解！

请高手帮我求解该积分，最好能给出详细的过程，谢谢。

Answer 1

∫[0→+∞] e^(-t)/√t dt
=2∫[0→+∞] e^(-t) d√t
令√t=u
=2∫[0→+∞] e^(-u²) du
=√π

其中：∫[0→+∞] e^(-u²) du=√π/2，记住结论就行，如需过程，请追问。

追问

呵呵，就是还需要：∫[0→+∞] e^(-u²) du=√π/2的详细求解过程啊，不胜感激，请赐教。

追答

给你一个不是很严密的做法，严格做法在同济大学高等数学教材中有（下册二重积分极坐标部分）
设u=∫[-∞，+∞] e^(-t^2)dt
两边平方： 下面省略积分限
u^2=∫e^(-t^2)dt*∫e^(-t^2)dt 由于积分可以随便换积分变量
=∫e^(-x^2)dx*∫e^(-y^2)dy 这样变成一个二重积分
=∫∫ e^(-x^2-y^2)dxdy 积分区域为x^2+y^2=R^2 R-->+∞
用极坐标
=∫∫ e^(-r^2)*rdrdθ
=∫ [0-->2π]∫ [0-->R] e^(-r^2)*rdrdθ 然后R-->+∞取极限
=2π*(1/2)∫ [0-->R] e^(-r^2)d (r^2)
=π[1-e^(-R^2)] 然后R-->+∞取极限
=π
这样u^2=π，因此u=√π

我们要求的积分=u/2=√π/2

本题不严密处在于，化为二重积分时，其实不应该是一个圆形区域，而应该是矩形区域，书上有这个处理方法，利用夹逼准则将圆形区域夹在两个矩形区域之间来解决这个问题。