Question

已知函数fx=2^x-(1/2^丨x丨)

1）fx=2 求x 2） 若2^t f(2t)+mf(t)大于等于0 对于t属于[1,2]恒成立 求m取值

Answer 1

1) 令t=2^x
当x>=0时，t>=1, 有f(x)=t-1/t=2, 即t^2-2t-1=0, 解得：t=1+√2, 即x=log2(1+√2)
当x<0时，0<t<1, 有f(x)=t-t=0, 不可能为2
故x只能为log2(1+√2)

2)1=<t<=2
则有f(t)=2^t-1/2^t, f(2t)=2^2t-1/2^2t
令a=2^t, 则依题意有： 2=<a<=4
a(a^2-1/a^2)+m(a-1/a)>=0
(a-1/a)[a(a+1/a)+m]>=0
因为a>1/a, 所以有：a(a+1/a)+m>=0
即m>=-a^2-1
由a的取值，上式右端的最大值为当a=2时取得，为-5
因此有a>=-5.

Answer 2

(1)f(x)=2
2^x-(1/2^丨x丨)=2
2^x*2^丨x丨-2^丨x丨-1=0
若x<0 则2^x*2^丨x丨=1 -2^丨x丨=0 不可能的。
所以x>0
(2^x)^2-2^x-1=0
2^x=(1+根号5)/2 或(1-根号5)/2（最后<0 不可能）

x=log(2) (1+根号5)/2
（2）2^t f(2t)+mf(t)=2^t(2^2t -1/2^2t)+m(2^t-1/2^t) (1<=t<=2)
=2^(3t)-1/2^t+m(2^t-1/2^t)>=0 (2^t-1/2^t>0)

m>=-(2^(3t)-1/2^t)/(2^t-1/2^t)
=-(2^(4t)-1)/(2^(2t)-1)

=-(2^(2t)-1)(2^(2t)+1)/(2^(2t)-1)
=-(2^(2t+1)
m>=-(2^2+1)=-5