Question

求解一道数学题急！！

直角梯形ABCD中,CD平行AB,∠A=90,AB=AD=4,DC=3,点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点D运动，当其中一个的动点到达终点是另一个动点也随之停止运动，过点Q做QN⊥AB，垂足为N，连结BD交QN于点M，联结PM，
1，设运动时间为t,三角形MPB面积为S,求面积S关于t的函数关系式及定义域
2，是否存在时间t，使以点MPB为顶点的三角形与三角形BCD相似，若存在求出t,不存在说明理由

Answer 1

1
因为AB=AD
所以MN=NB,DQ=QM
所以三角形MPB的高线MN=QP-DQ=4-(3-t)=1+t {0=<t<=3 }

同理三角形MPB的底PB=4-2t {0=<t<=2}

所以三角形MPB的面积S=PB*MN/2=(2-t)*(1+t) {0=<t<=2}
2
存在t=13/11
三角形BCD与三角形MPB中都有有一个45度角 如图<QDB ,<DBA
在此题中直接运用公式不好算
我采用 两三角形的高与底成比例就容易了，如图假设两三角形相似
所以PB：MN=3：4
所以t=13/11

追问

第二小题说清楚点好么

追答

两三角形相似的话 （底高与45角）边角边 =相似

Answer 2

解：（1）由已知得：AM=4-2t，AP=4-3+t=1+t，
故答案为：4-2t，1+t．

（2）∵梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半
∴12（t+4-2t）•4=12•12（3+4）•4，解得t=12，
∴当t=
12时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半，

（3）存在
∵AD=CD，∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD翻折，得△AKM∴QM=MK，AQ=AK
∠KAQ=2∠CAD=90°，
要使四边形AQMK为正方形，则AQ=MQ，
∵NP⊥MA∴MP=AP∴AM=2AP，∴4-2t=2（1+t）∴t=12，
∴当t=12时，四边形AQMK为正方形．

Answer 3

1
∵AM=4-2t，AP=4-3+t=1+t，
∴答案为：4-2t，1+t．
2
∵梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半
∴12（t+4-2t）•4=12•12（3+4）•4，解得t=12，
∴当t=12时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半，
3
∵AD=CD，∠ADC=90°
∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD翻折，得△AKM
∴QM=MK，AQ=AK
∠KAQ=2∠CAD=90°，
要使四边形AQMK为正方形，则AQ=MQ，
∵NP⊥MA
∴MP=AP
∴AM=2AP，
∴4-2t=2（1+t）
∴t=12，
∴当t=12时，四边形AQMK为正方形．