Question

如图，在RT△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，BE平分∠BAC交AC于E，过C作CD⊥BE于D，过A作AT⊥BD于T，请写出

1 AT+TE与BE的数量关系，并证明2 BD-CD于AT的
问题补充：

数量关系，并证明

Answer 1

(1)

取BE中点F，则AF是直角ΔABE斜边上的中线，故AF=BF=EF

∴∠3=∠1+∠2=2∠2

又∵BE是∠BAC平分线，故∠2=45°/2，∴∠3=2×(45°/2)=45°

∵AT⊥TE，∴ΔAFT是等腰直角三角形，∴AT=TF

∴AT+TE=FT+TE=FE

∴BE=BF+FE=2FE=2(AT+TE)

(2)

∵BE是∠BAC平分线，故AE:EC=AB:BC=1:√2，∴AB:AE=AC:AE=(√2+1):1

显然，ΔABE∽ΔATE∽ΔCDE，∴AB:AE=AT:TE=CD:DE=(√2+1):1，AT:CD=AE:EC=1:√2

令TE=a，则AT=(√2+1)TE=(√2+1)a，CD=√2AT=(2+√2)a，DE=√2TE=√2a，BE=2(AT+TE)=2(2+√2)a

∴BD-CD=BE+DE-CD=2(2+√2)a+√2a-(2+√2)a=(2+2√2)a=2(√2+1)a=2AT