Question

已知a,b,c,d是两两相交且不共点的四条直线，求证：直线a.b,c,d共面.

Answer 1

情况一：
当三条直线两两相交任意三条直线都不交于同一点时：
由abc三条直线两两相交可得abc共面，（ab相交可得ab共面，ac相交可得ac共面，bc也相交则bc共面，显然abc共面）
同理可证bcd共面，
即可知abcd四条直线共面。
情况二：
当三条直线两两相交存在三条直线交于同一点时（不妨设abc相交于同一点）（由题可知d不过abc的交点）
此时若abc相交于同一点且abc三条直线共面，则可由情况一同理可得。
此时若abc相交于同一点且abc三条直线不共面，由题可得d必须于abc均有交点且交点异于abc的交点，在abc上分别取三个点（均异于abc交点），显然三点共面而不共线，欲使d过此三点，此三点必共线，与之前所证矛盾，故可得此时abcd不满足题意，情况不成立。
综上所述：abcd四线共面。

Answer 2

解：（1）若三直线l1、l2、l3交于一点A（，
则由点A与l4确定一个平面α
A∈α，B∈α，AB⊂α，l1⊂α，
同理可得l2⊂α．、l3⊂α，
∴l1、l2、l3、l4四点共面．
（2）若四直线无三线共点，设两直线交于一点，
如l1∩l2=A．，则l1、l2确定一个面α，则B∈α，C∈α⇒l3⊂α．
同理l4⊂α⇒四线共面．