一元二次方程1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。 的步骤解法及运用(适合初三数学)

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小小芝麻大大梦
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2019-06-15 · 每个回答都超有意思的
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一元二次方程解法:

一、直接开平方法

形如(x+a)^2=b,当b大于或等于0时,x+a=正负根号b,x=-a加减根号b;当b小于0时。方程无实数根。

二、配方法

1.二次项系数化为1

2.移项,左边为二次项和一次项,右边为常数项。

3.配方,两边都加上一次项系数一半的平方,化成(x=a)^2=b的形式。

4.利用直接开平方法求出方程的解。

三、公式法

现将方程整理成:ax^2+bx+c=0的一般形式。再将abc代入公式x=(-b±√(b^2-4ac))/2a,(b^2-4ac大于或等于0)即可。

四、因式分解法

如果一元二次方程ax^2+bx+c=0中等号左边的代数式容易分解,那么优先选用因式分解法。

扩展资料:

一般地,式子b^2-4ac叫做一元二次方程ax^2+bx+c=0根的判别式,通常用希腊字母“Δ”表示它,即Δ=b^2-4ac.

1、当Δ>0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根;

2、当Δ=0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根;

3、当Δ<0时,方程ax^2+bx+c=0(a≠0)无实数根。

钰潇
高粉答主

2019-07-12 · 关注我不会让你失望
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1、直接开平方法

直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法.用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m 。

例:解方程(3x+1)²=7

∵(3x+1)²=7 

∴3x+1=±√7

∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3 

∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=﹙﹣√7-1﹚/3 

2、配方法

用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) .先将常数c移到方程右边:ax²+bx=-c ,将二次项系数化为:x²+bx/a=- c/a ,方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x²+bx/a+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²。

方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a)²= -c/a﹢﹙b/2a﹚² .当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ,所以x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式) 

例:用配方法解方程 3x²-4x-2=0 

将常数项移到方程右边 3x²-4x=2 ,将二次项系数化为:x²-﹙4/3﹚x= 2/3,方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2/3 +(4/6 )² 

配方:(x-4/6)²= 2/3 +(4/6 )² ,直接开平方得:x-4/6=± √[2/3+(4/6 )² ]

∴x= 4/6± √[2/3 +(4/6 )² ] 

原方程的解为x1=4/6﹢√﹙10/9﹚,x2=4/6﹣√﹙10/9﹚

3、公式法

把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a,b,c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) ,(b²-4ac≥0)就可得到方程的根。

例:用公式法解方程 2x²+4x+1=0

∴a=2,b=4 ,c=1

⊿=b²-4ac=16-4*2*1=8>0

x=(-b±√⊿)/(2a)=(-4±2√2)/4=(-2±√2)/4

∴原方程的解为x1=(-2+√2)/4 x2==(-2-√2)/4

4、因式分解法

把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根.这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

例:用因式分解法解方程:6x²+5x-50=0

6x²+5x-50=0 

(2x-5)(3x+10)=0 

∴2x-5=0或3x+10=0 

∴原方程的解x1=5/2,x2=-10/3 

扩展资料:

一元二次方程成立条件

一元二次方程成立必须同时满足三个条件:

1、是整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果有分母;且未知数在分母上,那么这个方程就是分式方程,不是一元二次方程,方程中如果有根号,且未知数在根号内,那么这个方程也不是一元二次方程(是无理方程)。

2、只含有一个未知数;

3、未知数项的最高次数是2 。

参考资料:百度百科-一元二次方程

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II洛丽塔II
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1、直接开平方法: 直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)²=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m .
例:解方程(3x+1)²=7
解:∵(3x+1)²=7   
∴3x+1=±√7
∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3
∴原方程的解为x1=﹙√7﹣1﹚/3,x2=﹙﹣√7-1﹚/3  
2、配方法:用配方法解方程ax²+bx+c=0 (a≠0) 。先将常数c移到方程右边:ax²+bx=-c ,将二次项系数化为:x²+bx/a=- c/a ,方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x²+bx/a+( b/2a)²=- c/a+( b/2a)²,方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a)²= -c/a﹢﹙b/2a﹚² 。当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚² ,所以x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)
例:用配方法解方程 3x²-4x-2=0
解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2
将二次项系数化为:x²-﹙4/3﹚x= 2/3
方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=2/3 +(4/6 )²
配方:(x-4/6)²= 2/3 +(4/6 )²
直接开平方得:x-4/6=± √[2/3+(4/6 )² ]
∴x= 4/6± √[2/3 +(4/6 )² ]
原方程的解为x1=4/6﹢√﹙10/9﹚,x2=4/6﹣√﹙10/9﹚
3、公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。
例:用公式法解方程 2x²+4x+1=0
解:∴a=2, b=4 ,c=1
⊿=b²-4ac=16-4*2*1=8>0
x=(-b±√⊿)/(2a)=(-4±2√2)/4=(-2±√2)/4
∴原方程的解为x1=(-2+√2)/4 x2==(-2-√2)/4
4、因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。
例:用因式分解法解方程:6x²+5x-50=0
解:6x²+5x-50=0
(2x-5)(3x+10)=0
∴2x-5=0或3x+10=0
∴原方程的解x1=5/2, x2=-10/3

小结:
一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。
直接开平方法是最基本的方法。
公式法和配方法是最重要的方法。
公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。
配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法(换元法,配方法,待定系数法)之一,一定要掌握好。
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yivsda
2012-09-23 · 超过17用户采纳过TA的回答
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解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”将它化为两个一元一次方程。一元二次方程有四种解法:   1、直接开平方法;2、配方法;3、公式法;4、因式分解法。   1、直接开平方法:   直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如(x-m)^2;=n (n≥0)的 方程,其解为x=±√n+m .   例1.解方程(1)(3x+1)^2;=7 (2)9x^2;-24x+16=11   分析:(1)此方程显然用直接开平方法好做,(2)方程左边是完全平方式(3x-4)^2;,右边=11>0,所以此方程也可用直接开平方法解。   (1)解:(3x+1)^2=7   ∴(3x+1)^2=7   ∴3x+1=±√7(注意不要丢解符号)   ∴x= ﹙﹣1±√7﹚/3   ∴原方程的解为x?=﹙√7﹣1﹚/3,x?=﹙﹣√7-1﹚/3   (2)解: 9x^2-24x+16=11   ∴(3x-4)^2=11   ∴3x-4=±√11   ∴x=﹙ 4±√11﹚/3   ∴原方程的解为x?=﹙4﹢√11﹚/3,x?= ﹙4﹣√11﹚/3   2.配方法:用配方法解方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)   先将常数c移到方程右边:ax^2+bx=-c   将二次项系数化为1:x^2+b/ax=- c/a   方程两边分别加上一次项系数的一半的平方:x^2+b/ax+( b/2a)^2=- c/a+( b/2a)^2;   方程左边成为一个完全平方式:(x+b/2a )2= -c/a﹢﹙b/2a﹚²   当b²-4ac≥0时,x+b/2a =±√﹙﹣c/a﹚﹢﹙b/2a﹚²   ∴x=﹛﹣b±[√﹙b²﹣4ac﹚]﹜/2a(这就是求根公式)   例2.用配方法解方程 3x²-4x-2=0   解:将常数项移到方程右边 3x²-4x=2   将二次项系数化为1:x²-﹙4/3﹚x= ?   方程两边都加上一次项系数一半的平方:x²-﹙4/3﹚x+( 4/6)²=? +(4/6 )²   配方:(x-4/6)²= ? +(4/6 )²   直接开平方得:x-4/6=± √[? +(4/6 )² ]   ∴x= 4/6± √[? +(4/6 )² ]   ∴原方程的解为x?=4/6﹢√﹙10/6﹚,x?=4/6﹣√﹙10/6﹚ .   3.公式法:把一元二次方程化成一般形式,然后计算判别式△=b²-4ac的值,当b²-4ac≥0时,把各项系数a, b, c的值代入求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/(2a) , (b²-4ac≥0)就可得到方程的根。   例3.用公式法解方程 2x²-8x=-5   解:将方程化为一般形式:2x²-8x+5=0   ∴a=2, b=-8, c=5   b²-4ac=(-8)²-4×2×5=64-40=24>0   ∴x=[(-b±√(b²-4ac)]/(2a)   ∴原方程的解为x?=,x?= .   4.因式分解法:把方程变形为一边是零,把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式,让两个一次因式分别等于零,得到两个一元一次方程,解这两个一元一次方程所得到的根,就是原方程的两个根。这种解一元二次方程的方法叫做因式分解法。   例4.用因式分解法解下列方程:   (1) (x+3)(x-6)=-8 (2) 2x²+3x=0   (3) 6x²+5x-50=0 (选学) (4)x2-2( + )x+4=0 (选学)   (1)解:(x+3)(x-6)=-8 化简整理得   x2-3x-10=0 (方程左边为二次三项式,右边为零)   (x-5)(x+2)=0 (方程左边分解因式)   ∴x-5=0或x+2=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=5,x2=-2是原方程的解。   (2)解:2x2+3x=0   x(2x+3)=0 (用提公因式法将方程左边分解因式)   ∴x=0或2x+3=0 (转化成两个一元一次方程)   ∴x1=0,x2=-是原方程的解。   注意:有些同学做这种题目时容易丢掉x=0这个解,应记住一元二次方程有两个解。   (3)解:6x2+5x-50=0   (2x-5)(3x+10)=0 (十字相乘分解因式时要特别注意符号不要出错)   ∴2x-5=0或3x+10=0   ∴x1=, x2=- 是原方程的解。   (4)解:x2-2(+ )x+4 =0 (∵4 可分解为2 ·2 ,∴此题可用因式分解法)   (x-2)(x-2 )=0   ∴x1=2 ,x2=2是原方程的解。   小结:   一般解一元二次方程,最常用的方法还是因式分解法,在应用因式分解法时,一般要先将方程写成一般形式,同时应使二次项系数化为正数。   直接开平方法是最基本的方法。   公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程(有人称之为万能法),在使用公式法时,一定要把原方程化成一般形式,以便确定系数,而且在用公式前应先计算判别式的值,以便判断方程是否有解。   配方法是推导公式的工具,掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了,所以一般不用配方法   解一元二次方程。但是,配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用,是初中要求掌握的三种重要的数学方法之一,一定要掌握好。(三种重要的数学方法:换元法,配方法,待定系数法)。
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百度网友39b9b55
2012-09-23 · 超过16用户采纳过TA的回答
知道答主
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一元二次方程 设为ax^2 bx c=0(其中a不等于零)。
直接开平方法:一般分为二次项系数为1和不为1,为1时等式左边配成完全平方得形式,等式右边是配方后的数,然后再开方,开放后原平方项开出来为正负,右边为原来数开方后的数,再算出未知数就可以了。如果系数不为1,则提出系数,如a(x^2 b/ax) c=0 配方得a(x b/2a)^2=(b/2a)^2 (-c)两边除以a再开方得x b/2a=±√【(b/2a)^2 (-c)】然后x= ±√【(b/2a)^2 (-c)】-b/2a 这种一般适合开根好开的数
陪方法和直接开根差不多

公式法就是 当▲=b^2-4ac≥0时x=2a分之-b±√(b^2-4ac)当▲<0时无解。
因式分解法 现在不推广,主要是平方差公式a^2-b^2=(a-b)(a b)的应用 还有初一学的多项式和多项式的应用,即(ax b)(cx d)=acx^2 (ac bd)x bd 初中阶段不重点抽查这个。

这几个最重要的还是公式法和陪方法。
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