Question

已知圆x2+y2-4x+2y-3=0和圆外一点M(4,-8)。过M做圆的切线，切点为C,D,求切线长及直线CD的方程

Answer 1

圆x2+y2-4x+2y-3=0，
x^2-4x+4+y^2+2y+1=8
(x-2)^2+(y+1)^2=8
圆心E(2,-1)，
以EM为直径作圆，其方程为：(E，M的中点（3，-9/2），R^2=(EM/2)^2=EM^2/4=53/4)
(x-3)^2+(y+9/2)^2=53/4
x^2-6x+9+y^2+9y+81/4=53/4
x^2+y^2-6x+9y+16=0
MC^2=MD^2=ME^2-8=53-8=45,MC=MD=3√5
结果CD的直线方程为：（两个圆的方程消去二次项即可）
2x-7y-19=0。

Answer 2

这两个结果都有公式：
（1）过圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 外一点P（x0，y0）向圆引切线，切线长为
L=√(x0^2+y0^2+Dx0+Ey0+F) 。（就是把点的坐标代入左端再开方即可）
（2）过圆 x^2+y^2+Dx+Ey+F=0 外一点P（x0，y0）向圆引两条切线，则切点的连线方程为
x0*x+y0*y+D/2*(x+x0)+E/2*(y+y0)+F=0 。（如果 P 在圆上，则方程就是圆的过P的切线方程）。
希望这两个结果对你有所帮助 。

Answer 3

根据圆的方程：x2+y2-4x+2y-3=0 →(x-2)2-4+(y+1)-1-3=0 计算出圆心O为（2,-1）半径R为 2√2
即可计算出圆心O到点M（4,-8）的距离 ，因三角形OCM与三角形ODM为全等直角三角形，即可计算出切线的长