Question

高等数学 曲线积分 如下图 问为什么还要考察（0,0）点，哪一点不是没有意义吗！

Answer 1

首先，

P和Q都只是在（0,0）处不连续也只是在（0,0）处不可偏导

 

此题应该分两种情况讨论，

1、L围成的区域中未包含原点，根据首先得到的条件，利用格林公式，该积分等于零

2、L围成的区域中包含原点，则取曲线C为x^2+y^2=1，

不论C与L的关系，我们可以用一条更大的曲线T包含这C和L这两条曲线，于是又L上的积分等于T上的积分等于C上的积分。所以L上的积分等于C上的积分。

于是可将C带入P和Q中可得

再使用一次格林公式可得

Answer 2

(0,0)∈D时，作为曲线积分是有意义的，因为曲线积分只考虑曲线上的点，只要(0,0)不在曲线上就行。只不过当(0,0)∈D时，由于P，Q两个函数在D内有那么一个讨厌的点存在，因此不满足一阶连续偏导数这个条件了，因此不能直接用格林公式而己。

比如当积分曲线是单位圆时，你可以用参数方程计算：x=cost，y=sint，代入计算与书上的结果是一样的，只不过这种方法不如书上的好。

Answer 3

如果直接化曲线积分为定积分，自然不用考虑原点，它又不在曲线L上。如果想使用格林公式，就需要判断原点是否在区域D内，因为两个被积函数在原点处很明显没有定义，更不用说偏导数存在且连续了。
这个题目可以这样考虑，如果L是一个以原点为圆心的圆，则被积函数的分母变成了常数，这时候格林公式的条件满足，计算很简单。然后再注意到在非原点处的两个偏导数相等，所以在L与一个圆之间使用格林公式的话，积分是0，所以L上的积分等于圆上的积分，方向都是正方向(逆时针)。