Question

已知函数f(x)=loga(1+x)/(1-x)（a>0,a不等于1）

1.求f(x)的定义域
2判断并证明f(x)的奇偶性
3判断f（x）的单调性

前两问会，最后一问不会~

Answer 1

1
(1+x)/(1-x)>0
(x+1)/(x-1)<0
∴-1<x<1
定义域为(-1,1)
2
f(x)+f(-x)=loga[(1+x)/(1-x)+loga[(1-x)/(1+x)]
=loga[(1+x)/(1-x)*(1-x)/(1+x)]
=loga(1)=0
∴f(-x)=-f(x)
∴f(x)是奇函数
3
t=(1+x)/(1-x)=[2-(1-x)]/(1-x)
=-1+2/(1-x)=
x∈(-1,1)时，x增大，1-x 递减，
1/(1-x)递增，-1+1/(1-x)递增
∴t=(1+x)/(1-x)是增函数
当a>1时，y=logat递增，
f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是增函数
当0<a<1时，y=logat是减函数
∴ f(x)=loga[(1+x)/(1-x)]是减函数

Answer 2

定义域为(1+x)/(1-x)>0, 即-1<x<1
f(-x)=loga(1-x)/(1+x)=-loga(1+x)/(1-x)=-f(x), 所以f(x)为奇函数
f(x)=loga[ (-1+x+2)/(1-x)=loga[-1+2/(1-x)]
因为x<1, 所以2/(1-x)为增函数，即-1+2/(1-x)也为增函数。
所以当a>1时，f(x)在(-1,1)上也为增函数
当0<a<1时，f(x)在（-1，1）上为减函数

Answer 3

已知函数f(x)=log‹a›[(1+x)/(1-x)]（a>0,a不等于1）；(1).求f(x)的定义域 ；(2)判断并证明f(x)的奇偶性；(3)判断f（x）的单调性。

解(1).由(1+x)/(1-x)=-(x+1)/(x-1)>0，得(x+1)/(x-1)<0，故定义域为-1<x<1.
(2) f(-x)=log‹a›[(1-x)/(1+x)]=log‹a›[(1+x)/(1-x)]ֿ¹=-log‹a›[(1+x)/(1-x)]=-f(x)，故是奇函数；
(3)f′(x)=[(1+x)/(1-x)]′/[(1+x)lna/(1-x)]=[2/(1-x)²]/[(1+x)lna/(1-x)]=2/[(1-x²)lna]
由于f(x)的定义域为-1<x<1，故恒有1-x²>0，于是f′(x)的符号由lna决定：当a>1时lna>0；当0<a<1
时lna<0；∴当a>1时f(x)是增函数；当0<a<1时f(x)是减函数。

Answer 4

解：（3）、利用复合函数的单调性判断。
因为1+x/1-x=[2-(1-x)]/(1-x)=2/(1-x)-1在定义域（-1，1）递增的，
所以当a>1时，函数f(x)=loga(1+x)/(1-x)在定义域（-1，1）递增的；
当0<a<1时，函数f(x)=loga(1+x)/(1-x)在定义域（-1，1）递减的。