Question

求解常微分方程题

Answer 1

静态解表示
dx/dt=0
dy/dt=0
-x+4y+xy=0
-1+x-y=0
x=1+y
-1-y+4y+(1+y)y=0
y^2+4y-1=0
y=-2±根号5
x=-1±根号5
然后看哪个解是稳定的
看矩阵
偏(-x+4y+xy)/偏x,偏(-x+4y+xy)/偏y
偏(-1+x-y)/偏x,偏(-1+x-y)/偏y

= -1+y, 4+x
1 , -1
代入值，发现
=-3±根号5,3±根号5
1 , -1
求特征值
t^2-(-4+根号5)t+(3-根号5)-3-根号5=0
或者t^2-(-4-根号5)t+(3+根号5)-3+根号5=0
显然两根和小于0
为了使两个特征值都小于0，只有两根的积大于0
显然只有第二个是这样
所以取减号
即x=-1-根号5，y=-2-根号5才是定态解

Answer 2

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