Question

求通项公式的所有方法

Answer 1

　　求通项公式的几种方法
　　数列的通项公式是研究数列的重要依据，下面介绍几种求数列通项公式的方法．

　　一、观察法
　　已知一个数列的前几项，观察其特点，写出通项公式．
　　例1 观察下列数的特点，写出每个数列的一个通项公式．
　　（1） ； （2） ．
　　解：（1） ； （2） ．

　　二、由 的前 项和 与 间的关系，求通项
　　已知数列 的通项公式，可以求出 的前 项和 ；反过来，
　　若已知 的前 项和 ，如何求 呢？
　　，
　　当 时， ；当 时， ，
　　故
　　此处应注意 并非对所有的 都成立，而只对当 且为正整数时成
　　立，因此由 求 时必须分 和 两种情况进行讨论．
　　例2 设数列 的前 项和 ，求数列 的通项公式．
　　解：当 时， ；
　　当 时， ．
　　此式对 也适用．
　　．
　　点评：利用数列的前 项和 求数列的通项公式 时，要注意 是否也满足
　　得出的表达式，若不满足，数列的通项公式就要用分段形式写出．

　　三、利用公式求通项公式
　　已知一个数列是特殊的数列，只要求出首项和公差代入公式即可求出通项．
　　例3　 等差数列的前 项和记为 ，已知 ，求通项 ．
　　解： ，　　　　　①
　　， ②
　　②－①，得 ．代入①，得 ．
　　．

　　四、利用递推关系，求通项公式
　　根据题目中所给的递推关系，可构造等差数列或采取叠加，叠乘的方法，消去中间项求通项公式．
　　例4　根据下列条件，求数列的通项公式 ．
　　（1） 数列 中， ；
　　（2） 数列 中， ；
　　（3） 数列 中， ．
　　解：（1）因为 ，所以 ．
　　又 ，所以 成等差数列，公差为 ．
　　所以 ．
　　（2）因为 ，所以 ， ， ， ，
　　．
　　将上面 个式子叠加，得 ，
　　所以 ．
　　（3）由 ，变形为 ，
　　， ．
　　将上面的式子叠乘，得 ．
　　．

　　五、两式相减，消项求通项
　　例5 数列 满足 ，求 ．
　　解：由题意 ，
　　又 ，
　　两式相减，得 ．
　　．
　　又 时，也适合上式， ．

　　总之，求数列通项公式的方法有很多，同学们要在实践中注意总结，寻找解题规律．

Answer 2

1、累差法 2、累积法 3、待定系数法