求通项公式的所有方法
展开全部
求通项公式的几种方法
数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法.
一、观察法
已知一个数列的前几项,观察其特点,写出通项公式.
例1 观察下列数的特点,写出每个数列的一个通项公式.
(1) ; (2) .
解:(1) ; (2) .
二、由 的前 项和 与 间的关系,求通项
已知数列 的通项公式,可以求出 的前 项和 ;反过来,
若已知 的前 项和 ,如何求 呢?
,
当 时, ;当 时, ,
故
此处应注意 并非对所有的 都成立,而只对当 且为正整数时成
立,因此由 求 时必须分 和 两种情况进行讨论.
例2 设数列 的前 项和 ,求数列 的通项公式.
解:当 时, ;
当 时, .
此式对 也适用.
.
点评:利用数列的前 项和 求数列的通项公式 时,要注意 是否也满足
得出的表达式,若不满足,数列的通项公式就要用分段形式写出.
三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列,只要求出首项和公差代入公式即可求出通项.
例3 等差数列的前 项和记为 ,已知 ,求通项 .
解: , ①
, ②
②-①,得 .代入①,得 .
.
四、利用递推关系,求通项公式
根据题目中所给的递推关系,可构造等差数列或采取叠加,叠乘的方法,消去中间项求通项公式.
例4 根据下列条件,求数列的通项公式 .
(1) 数列 中, ;
(2) 数列 中, ;
(3) 数列 中, .
解:(1)因为 ,所以 .
又 ,所以 成等差数列,公差为 .
所以 .
(2)因为 ,所以 , , , ,
.
将上面 个式子叠加,得 ,
所以 .
(3)由 ,变形为 ,
, .
将上面的式子叠乘,得 .
.
五、两式相减,消项求通项
例5 数列 满足 ,求 .
解:由题意 ,
又 ,
两式相减,得 .
.
又 时,也适合上式, .
总之,求数列通项公式的方法有很多,同学们要在实践中注意总结,寻找解题规律.
数列的通项公式是研究数列的重要依据,下面介绍几种求数列通项公式的方法.
一、观察法
已知一个数列的前几项,观察其特点,写出通项公式.
例1 观察下列数的特点,写出每个数列的一个通项公式.
(1) ; (2) .
解:(1) ; (2) .
二、由 的前 项和 与 间的关系,求通项
已知数列 的通项公式,可以求出 的前 项和 ;反过来,
若已知 的前 项和 ,如何求 呢?
,
当 时, ;当 时, ,
故
此处应注意 并非对所有的 都成立,而只对当 且为正整数时成
立,因此由 求 时必须分 和 两种情况进行讨论.
例2 设数列 的前 项和 ,求数列 的通项公式.
解:当 时, ;
当 时, .
此式对 也适用.
.
点评:利用数列的前 项和 求数列的通项公式 时,要注意 是否也满足
得出的表达式,若不满足,数列的通项公式就要用分段形式写出.
三、利用公式求通项公式
已知一个数列是特殊的数列,只要求出首项和公差代入公式即可求出通项.
例3 等差数列的前 项和记为 ,已知 ,求通项 .
解: , ①
, ②
②-①,得 .代入①,得 .
.
四、利用递推关系,求通项公式
根据题目中所给的递推关系,可构造等差数列或采取叠加,叠乘的方法,消去中间项求通项公式.
例4 根据下列条件,求数列的通项公式 .
(1) 数列 中, ;
(2) 数列 中, ;
(3) 数列 中, .
解:(1)因为 ,所以 .
又 ,所以 成等差数列,公差为 .
所以 .
(2)因为 ,所以 , , , ,
.
将上面 个式子叠加,得 ,
所以 .
(3)由 ,变形为 ,
, .
将上面的式子叠乘,得 .
.
五、两式相减,消项求通项
例5 数列 满足 ,求 .
解:由题意 ,
又 ,
两式相减,得 .
.
又 时,也适合上式, .
总之,求数列通项公式的方法有很多,同学们要在实践中注意总结,寻找解题规律.
推荐律师服务:
若未解决您的问题,请您详细描述您的问题,通过百度律临进行免费专业咨询