Question

数学求证问题，在线等

x=2ab-2a^2 * （1-e^(b/a))
求证a<<b时，x=b^2
在线等,急，谢谢！！！！
我写错了一点东西，正确题目应该是这样的，
x=2ab-2a^2 * （1-e^(-b/a))
求证b<<a时，x=b^2

谢谢！！！

Answer 1

e^x=1+x+x²/2!+x³/3!+....
e^(-b/a)=1-b/a+b²/2a²-b³/6a³+。。。
所以
x=2ab-2a²×(b/a-b²/2a²+b³/6a³+。。。)
=2ab-2ab+b²-2b³/6a+....
=b²-2b³/6a+....
因为
b<<a
所以
-2b³/6a+....极限为0

所以
x=b²

Answer 2

结论应该是x等价于b^2。

用Taylor展式即可
e^x＝1+x+x^2/2+o(x^2)，当x趋于0时，因此
e^(－b/a)＝1－b/a+b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2)，代入得
x＝2ab－2a^2(1－e^(－b/a))
＝2ab－2a^2(1－(1－b/a+b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2)))
＝2ab－2a^2(b/a－b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2))
＝b^2+o(b^2)。
于是x等价于b^2，当b<<a时。

Answer 3

e^x＝1+x+x^2/2+o(x^2)，当x趋于0时，因此
e^(－b/a)＝1－b/a+b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2)，代入得
x＝2ab－2a^2(1－e^(－b/a))
＝2ab－2a^2(1－(1－b/a+b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2)))
＝2ab－2a^2(b/a－b^2/(2a^2)+o(b^2/a^2))
＝b^2+o(b^2)。
于是x等价于b^2，当b<<a时

Answer 4

x=2ab-2a^2 * （1-e^(-b/a))

b<<a时，e^(-b/a)=1-（b/a)+[(b/a)^2]/2+高阶小量
所以：
x≈2ab-(2a^2)*{b/a-[(b/a)^2]/2}=2ab-2ab+b^2=b^2

这就对了！