Question

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60度，E是AD上的一

如图所示，已知△ABC中，AB=AC，D是CB延长线上的一点，∠ADB=60度，E是AD上的一点，且有DE=DB,求证：AE=BE+BC
不要用高线的方法，那个方法还木有学，不要太麻烦，感谢~

Answer 1

证明：
延长DC到F，使CF=BD，再连接AF
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ABD≌△ACF
故，AD=AF，
又∠ADB=60º
∴△ADF是等边三角形，
∴AD=DF
AD=AE+DE，
DF=DB+BC+CF
又DE=DB，且∠ADB=60º
△DEB也是等边三角形。
∴DE=BE=DB=CF
AE+DE=BE+BC+DE
因此，AE=BE+BC.

追问

全等条件？

追答

AB=AC
CF=BD
∠ABD=∠ACF
∴△ABD≌△ACF(边角边)

Answer 2

　　因为DE=DB,且∠ADB=60度，所以△EDB是等边三角形，所以BE=DB=DE。则BE+BC=DB+BC=DC
　　找出BC中点为F，连接AF（自己作图吧！）。因为△ABC中，AB=AC，所以BF=CF=0.5BC，且AF垂直于BC。
　　在直角三角形AFD中，∠ADB=60度，则cos∠ADB=DF/AD=(DB+BF)/AD=(DB+0.5BC)/(AE+DE)=(DE+0.5BC)/(AE+DE)=1/2,得出AE=BC+DE=BC+BE。

　　或者：不必做任何辅助线，直接用余弦定理求解。
　　在△ADB中，cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DB^2-AB^2)/2AD.DB，即：AD^2+DB^2-AB^2=AD.DB......（1）
在△ADC中，cos∠D=cos60°=1/2=(AD^2+DC^2-AC^2)/2AD.DC且AC=AB，即：AD^2+DC^2-AB^2=AD.DC......（2）
由（2）-（1）得到：（DC+DB）(DC-DB)=AD（DC-DB）=（AE+DE）（DC-DB）
化简，得到：DC+DB=BC+2DB=AE+DE
由于DB=DE=BE（因为△EDB中，DB=DE且∠D=60°，所以它是等边三角形），所以BC+BE=AE。

Answer 3

延长DC到点F，使得FC=DB
连接AF
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABD=∠ACF
∴△ADB≌△AFC，∴AD=AF
∵∠ADB=60°
∴△ADF是等边三角形
∴AD=DF
∴AE+DE=DB+BC+FC .........①
又∵∠ADB=60°，DE=DB
∴△EDB是等边三角形
∴DE=DB=BE=FC....................②
由①和②可得AE=BE+BC

Answer 4

如图，△ABC中，AB=AC，D为CB延长线上一点，角∠ADB=60°，E是AD

上一点，且DE=DB，求证：AE=BE+BC．

（请考虑多种证法）

Answer 5

延长DC到点M，使得CM=DB
连接AM
显然△ADB与△AMC全等
剩下就简单啦