Question

一道线性代数关于向量的证明题

题目是:
设向量a1,a2,....,am线性相关,但其中任意m-1个向量都线性无关,证明:必存在m个全不为零的数k1,k2,...,km使得
k1*a1+k2+a2+...+km*am=0

虽然这道题用归谬法证相当简单,但是我打算再用直接证明的方法来试一次,以下是我的证明:

首先我不知道证明是否合理,其次这个证明感觉太粗糙了~~有没有好一点的直接证明的方法?

Answer 1

你的证明是不对的，线性相关的充分必要条件是“其中一个向量可表示成其余向量的线性组合”，而不是“任意一个向量......"

直接证明不太好描述，可这样证：
存在不全为0的k1，k2，....，km，使k1a1+k2a2+...+kmam=0，（1）
任取其中一个向量ai，由于其余的m-1个向量线性无关，而m个向量是线性相关的，因此由定理知，ai可写为其余m-1个向量的线性组合，且表示形式是唯一的。因此这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍，因此ki≠0，由ki的任意性知所有系数均不为0.

追问

关于任意一个向量,是因为其中任意m-1个向量都线性无关我才这么判断的

追答

应该不能这样判断吧，感觉这样就好象你直接把结论得出来一样。

追问

我是这样认为的.因为其中任意m-1个向量都线性无关,根据定理对任意ai都能有其余m-1个向量线性表示

对你的那个证明,最后一段我没看懂
"这个表示形式与(1)最多只差一个非零常数倍，因此ki≠0，由ki的任意性知所有系数均不为0"

是怎么得到所有系数非0的?

追答

1、你前面的证明中还有一个问题，就是不能因为每个向量都能线性表示，就说明系数不为0。比如因为可能出现这种情况，a2,..,am表示a1时，a3的系数为0，而其它向量表示a2时，换成a4的系数为0了。因为你没有说明表示式是唯一的。

2、ki 是所有系数中任取的一个，它代表所有系数。

追问

你的证明我看懂了~~可是我觉得好像我的证明方法的思想是跟你的思想是相似的~在我的证明图中第二个方程,实际上的确是与第一个方程的常数倍,并且当等式两边处以那个ki时,ki作为左边常数分式中的分母要使等式成立必然不为0~~而在我的证明中ki也是任意取.

我表达得不是很好,希望你能理解我的意思

追答

你的证明思想本质上与我的是一致的，只是有几个关键地方我觉得你没说清楚。

Answer 2

我想几个需要解决的问题是；
1、不全为零的系数k1,k2,...,km是否唯一？会不会还存在一组不全为零的系数，使得向量组的线性组合等于零向量？
2、虽然根据条件，每一个向量都可以由其余向量线性表示，但是这个线性表示是否一定可以由前面的线性相关的表示式推出？换言之，为什么系数ki就一定非零呢？要说明这一点，仅仅根据ai可以由其余向量线性表示？给人的感觉还不够强硬，还是用归谬法更明白些。

追问

对不起,我不是很理解你的意思~
但我认为:
1,题目要证明的是全不为零的常数,而不是不全为零~,不比过多讨论是否存在唯一不全为0的系数
2,关于系数ki是否一定非0的问题,我是通过讨论ki是否为必要条件来满足充分条件来证明.我举个例子
向量组(a1,a2,..,an)线性相关,那么k1*a1+k2*a2+..+kn*an=0 (1)
由定理,存在某向量能由其余向量表示,假设为a1,那么由式子(1)
k2*a2+..+kn*an = -k1*a1 ,两边同除-k1,k1成为了分母,所以必不为0

Answer 3

既然线性相关，那么am=k1a1+...+km-1am-1.这里的k1到km-1肯定不为0.否则会出现两个相同向量。
只需取km=-1就有k1*a1+k2+a2+...+km*am=am-am=0了。

Answer 4

很奇怪啊，如果K1,K2,.....Km都为0，那么a1,a2.....am就线性无关了啊，这还证什么