Question

证明方程有实根

x的3次方加a倍的x的2次方加b倍的x加c等于0 证明至少有一实根

Answer 1

设f(x)=x³+ax²+bx+c，f(x)连续是显然的
取M=|a|+|b|+|c|+1，显然M为正，且M>1
f(M)=M³+aM²+bM+c
≥M³-|a|M²-|b|M-|c|
>M³-|a|M²-|b|M²-|c|M²
=M(M-|a|-|b|-|c|)
>0
类似可证：f(-M)<0
因此由零点定理，函数至少有一实根。

如果 lim[x→+∞] f(x)=+∞，lim[x→-∞] f(x)=-∞算已知条件，那证明就更简单了。
由于lim[x→+∞] f(x)=+∞，必存在x1使f(x1)>0
由于lim[x→-∞] f(x)=-∞，必存在x2使f(x2)<0

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Answer 2

x^3+ax^2+bx+c=0

设f(x)=x^3+ax^2+bx+c=x^3(1+a/x+b/x^2+c/x^3)
则：lim(x→+∞)f(x)= +∞,故存在b,使f(b)>0
lim(x→-∞)f(x)= -∞, 故存在a,，a<b.使f(a)<0
由于f(x)在[a,b]连续，由根的存在性定理，至少存在r,使f(r)=0,即：f(x）至少有一实根

Answer 3

令f(x)=x^3+ax^2+bx+c
f'(x)=x^2+ax+b, x在定义域内f'(x)始终存在，故f(x)连续。

当x趋向正无穷时，f(x)趋向正无穷；当x趋向负无穷时，f(x)趋向负无穷；
根据函数图形与x轴必有一个交点，则f(x)=0必有一个解。

证毕。

Answer 4

证明：因为 x^3+bx^2+bx+c=0
所以 （x^2+dx+e)(x+f)=0
所以 此方程至少有一实根x=--f.

Answer 5