Question

高数极限问题

求lim(1+1/n+1/n^2)^n,n趋于无穷

Answer 1

因为 1/n+1/n^2=(n+1)/n^2=1/[n^2/(n+1)]=1/[n-1+1/(n+1)]
所以 令 y=n-1+1/(n+1) ，则 n=y*(n/y) ，且 n/y 极限为 1 ，
故原式=lim [(1+1/y)^y]^(n/y)=e^(n/y)=e 。

Answer 2

先取个自然对数
lim(n→∞) ln(1+1/n+1/n^2)^n

=lim(n→∞) nln(1+1/n+1/n^2) (等价无穷小代换)
=lim(n→∞) n*1/n
=1
再取自然指数，得原极限是e

Answer 3

(1+1/n+1/n^2)^n化简的(（n^2+n+1）/n^2)^n 注意这里的分子、分母的最高项次数都是n^2n 所以根据极限的相关结论：结果为最高项分子的系数（为1）/最高项分母的系数（也为1） 所以结果为1

Answer 4

lim（1+1/n+1/n^2)^n=lim[1+(1+n)/n^2]^[n^2/(1+n)×（1+n)/n] (n^2/(1+n)趋于无穷大)
根据重要极限，lim[1+(1+n)/n^2]^[n^2/(1+n)]=e
lim（1+1/n+1/n^2)^n=lim[e^(1+n)/n]=e

Answer 5

e。配成重要极限就可以了。[1+1/(n^2/(n+1))]^[n^2/(n+1)+n/(n+1)]=ex1=e