Question

若0<x<y<a,不等式1/x^2+1/(y-x)^2+1/(a-y)^2>=9 恒成立，求a的最大值。在线等。急~~

Answer 1

对任意c>0，d>0,m>0
注意到 (m³d²+c²)(c+d)²-(m+1)³c²d²=[c²+2cd(m+1)+md²](c-md)²≥0

先证明 (m³d²+c²)(c+d)²≥(m+1)³c²d²
两边除以c²d(c²+d²) 得 m³/c²+1/d²≥ (m+1)³/(c+d)²
令m=1 ,c=x,d=y-x ,得1/x²+1/(y-x)²≥8/y²

令m=2 ,c=y,d=a-y ,得8/y²+1/(a-y)²≥27/a²
1/x²+1/(y-x)²+1/(a-y)²≥8/y²+1/(a-y)²≥27/a²

等号当x=a/3,y=2a/3时等到
0<x<y<a,不等式1/x^2+1/(y-x)^2+1/(a-y)^2≥9 恒成立
则仅需27/a²≥9

得 a²≤3
0<a≤√3
a的最大值为根号3