Question

△ABC中AB>AC,AD是∠BAC的平分线,求证BD>CD

Answer 1

方法一：
∵AB＞AC，∴AB/AC＞1。
∵∠BAD＝∠CAD，∴由三角形内角平分线定理，有：BD/CD＝AB/AC＞1，∴BD＞CD。

方法二：
∵AB＞AC，∴可在AB上取一点E，使AE＝AC。
∵AE＝AC、AD＝AD、∠EAD＝∠CAD，∴△EAD≌△CAD，∴ED＝CD、∠ADE＝∠ADC。
显然有：∠BDC＞∠ADE＝∠ADC＞∠B，∴BD＞ED＝CD，即：BD＞CD。

方法三：
延长AC至F，使AF＝AB。
∵AB＝AF、AD＝AD、∠BAD＝∠FAD，∴△ABD≌△FAD，∴BD＝FD、∠B＝∠F。
显然有：∠DCF＞∠B＝∠F，∴FD＞CD，而BD＝FD，∴BD＞CD。