Question

如图，等边三角形ABC中，D、E分别为AB、BC上的点，且AD=BE，AE与CD交于点F，AG⊥CD，垂足为G.

求证：AF=2FG

Answer 1

因为AB=BC,AD=BC所以DB=EC,BC=AC,角B=角BCA,所以三角形DCB全等三角形EAC，所以角BCD=角EAC,角BCD+角DCA=60度，所以角DCA+角EAC=60度，直角三角形AGC中90度+角DCA+角EAC+角GAE=180度，所以角GAE=30度，所以AF=2GF(直角三角形30度所对的角是斜边的一半)

Answer 2

证明：
∵△ABC是等边三角形
∴∠ACE＝∠B=60°
∵AC=CB=AB，BD＝CE
∴CE=BD
∴△ACE≌△CBD（SAS）
∴∠CAE＝∠BCD
又∵∠ACD＝∠CAF＋∠AFC，∠ACD＝∠BCD＋∠ACB
∴∠AFC＝60°
∴∠FAG＝90°－60°＝30°
∴AF＝2FG

Answer 3

设∠DCB=Θ则
∠FAG=60-∠CAE-∠GAD

∵ΔACE≌ΔCDB
∴∠CAE=Θ
∠GAD=90-∠GDA=90-(∠DCB+∠B)=90-(Θ+60)

∠FAG=60-∠CAE-∠GAD=60-Θ-(90-(Θ+60))=60-Θ-90+Θ+60=120-90=30

∴FG=sin60*AF=1/2*AF

∴AF=2FG