Question

各位帮忙了，数学难题求解。（全部做完追加10财富值）

1.设实数a、b分别满足19a^2+99a+1=0和b^2+99b+19=0,且ab≠1，求（ab+4a+1）/b
2.实数a、b、c满足a+b+c=2,4ab-c^2=1,求c取值范围
3.若正数X、Y满足X+Y=XY，求X+Y最小值
4.x、y、z为实数，x+y=2，xy-z^2=1,求x、y、z（本人做出三组解，其余人说只有一组，各位看下吧）
第二题加紧了，拜托！！

Answer 1

1.首先b不可能等于零，所以把b^2+99b+19=0两边同时除以b^2，得到
19(1/b)^2+99(1/b)+1=0.这说明a和1/b是方程19x^2+99x+1=0的两根，根据韦达定理
有a+1/b=-99/19;a/b=1/19，所以（ab+4a+1）/b=-5；
2.由a+b+c=2,4ab-c^2=1,可知(a+b)^2=(2-c)^2=a^2+2ab+b^2,而
4ab=1+c^2即有a^2+b^2=(2-c)^2-2ab=(2-c)^2-(1+c^2)/2
而由基本不等式a^2+b^2≥2ab有
(2-c)^2-(1+c^2)/2≥(1+c^2)/2即(2-c)^2≥1+c^2解得c≤3/4
3.
x+y≥= 所以(x+y)^2≥4(x+y) x+y≥4
4.
由x+y=2，得y=2-x，所以xy-z^2=x*（2-x）-z^2=1
所以x^2-2x+z^2=-1
x^2-2x+1+z^2=0
（x-1）^2+z^2=0
这个式子要成立，只能是x-1=0，z=0，所以x=1，y=1

Answer 2

解：由b^2+99b+19=0，得 19*(1/b^2)+99*(1/b)+1=0
又 19a^2+99a+1=0，ab≠1，
则 a和1/b为方程19x^2+99x+1=0的两根
∴ a+(1/b)=(ab+1)/b=-99/19，a/b=1/19 原式=-5
解：由a+b+c=2，得 a+b=2-c (a+b)^2=(2-c)^2
又 4ab-c^2=1，得 4ab=c^2+1，4ab≤(a+b)^2
∴ c≤3/4
解：由X+Y=XY，得 Y=X/(X-1) X＞1
则X+Y=X+X/(X-1)=X+1+1/(X-1)=(X-1)+1/(X-1)+2
由均值不等式，得 X+Y≥2+2=4(X=Y=2时取等)
解：由x+y=2，xy-z^2=1，得 z^2+1=xy≤1(均值不等式)
则 z=0 x=y=1

Answer 3

1. 由题知a≠0，则关于a的方程两边同时除a^2得(1/a)^2+99(1/a)+19=0
结合关于b的方程知，1/a和b是方程x^2+99x+19=0的两个不同根（因ab≠1，即1/a≠b)
由韦达定理有(1/a)+b=-99，(1/a)*b=b/a=19
则(ab+4a+1)/b=(a+1/b)+4a/b=(1/a+b)/(b/a)+4a/b=-99/19+4/19=-5
2. 由基本不等式有4ab≤(a+b)^2
而a+b=2-c，4ab=1+c^2
则有1+c^2≤(2-c)^2，即c≤3/4
3. 由基本不等式有xy≤(x+y)^2/4
则x+y≤(x+y)^2/4
又x>0，y>0，即有x+y>0
故x+y≥4
4. 由题知xy=1+z^2≥1
而由基本不式有xy≤(x+y)^2/4=2^2/4=1
由夹逼原理知xy=1
于是由x+y=2解出x=1，y=1
再由xy-z^2=1知z=0
即x=1，y=1，z=0

Answer 4

b²+99b+19=0，因为b肯定不等于0，所以等式两边除以b²，可以得到1+99/b+19/b²=0,结合a以根据未达定律可以知道1/b，a是方程19x²+99x+1=0的根，所以a+1/b=-99/19,a
*(1/b)=1/19,也就是说（ab+4a+1）/b=(a+1/b)+4*a/b=-99/19+4/19=-95/19=-5
2、a+b+c=2,4ab-c²=1，可以得出a+b=2-c，ab=（1+c²）/4，所以a、b是方程x²-（2-c）x+（1+c²）/4=0的根，Δ>=0,所以4-4c+c²-4*（1+c²）/4>=0，也就是4-4c+c²-1-c²
>=0,3-4c>=0,c<=3/4

Answer 5

1.
∵19a^2+99a+1=0 b^2+99b+19=0，且ab≠1
又显然a,b≠0，故将第二个式子两边同时除以b^2
得出19*(1/b^2)+99*(1/b)+1=0
故a和1/b为方程19x^2+99x+1=0的两根，
a+(1/b)=-99/19,a/b=1/19
∴(ab+4a+1)/b=a+(1/b)+(4a/b)=(4/19)-(99/19)=-5.
2.
3.x+y≥2√xy=2√x+y 所以(x+y)^2≥4(x+y) x+y≥4
4.x+y=2，所以y=2-x，代入到下一个式子中：
xy-z^2=x*（2-x）-z^2=1
两边乘（-1）得：x^2-2x+z^2=-1
x^2-2x+1+z^2=0
（x-1）^2+z^2=0
这个式子要成立，只能是x-1=0，z=0，所以x=1，带回y=2-x=1，
即有：x=y=1

Answer 6

孩子 太多了

3 最小值 -4

追问

麻烦给下题号和解答过程

追答

3. xy=0 故t=2时有最小值-4