Question

如图所示，等边△ABC中，线段AD为其内角角平分线，过D作直线B1⊥AC于C1交AB沿长线于B1

Answer 1

解：（1）两个等式都成立．理由如下：
∵△ABC为等边三角形，AD为角平分线，
∴AD垂直平分BC，∠CAD=∠BAD=30°，AB=AC，
∴DB=CD，
∴

AC
AB
=

CD
DB
；

∵∠C1AB1=60°，
∴∠B1=30°，
∴AB1=2AC1，
又∵∠DAB1=30°，
∴DA=DB1，
而DA=2DC1，
∴DB1=2DC1，
∴

AC1
AB1
=

C1D
DB1
；

（2）结论仍然成立，理由如下：
如右图所示，△ABC为任意三角形，过B点作BE∥AC交AD的延长线于E点，
∴∠E=∠CAD=∠BAD，
∴BE=AB，
∵BE∥AC，
∴△EBD∽△ACD，
∴

AC
BE
=

CD
DB
而BE=AB，
∴

AC
AB
=

CD
DB
；

（3）如图，连DE，
∵AD为△ABC的内角角平分线
∴

CD
DB
=

AC
AB
=

8
403
=

3
5
，

EF
FC
=

AE
AC
=

5
8
，又∵

AE
EB
=

5
403-5
=

3
5
，∴

CD
DB
=

AE
EB
，

∴DE∥AC，
∴△DEF∽△ACF，
∴

DF
AF
=

EF
CF
=

5

Answer 2

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