Question

如图,已知:RT△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,AE⊥CD,垂足是E,AC²=AB乘CE，求证：D是AB的中点

Answer 1

证明：过点C作CM⊥AB，垂足为M
∵∠ACB=90° ∠CMA=90° ∠CAM=∠BAC
∴△ACB∽△AMC
∴AC²=AB×AM
又AC²=AB×CE
∴ CE=AM
又： AC=AC ∠CMA＝∠AEC=90°
∴△ACE≌△CAM
∴∠ACE=∠CAM
∴CD=AD ∠DCB=∠B=90°－∠ACE=90°－∠CAM
∴CD=DB
∴AD=DB 点D是AB的中点。

Answer 2

证明：
作CF⊥AB于点F
则AC²=AF*AB
∵AC²=AB*CE
∴AF=CE
易得△ACF≌△CAE（HL）
∴AE=CF
∴AD=CD（面积一定，高相等，则底相等）
∴∠CAD=∠ACD
∵∠CAD+∠B=∠ACD+∠BCD=90°
∴∠B=∠BCD
∴BD=CD
∴BD=AD
即D是AB中点

Answer 3

证明：∵AC²=AB*CE
∴AC/AB=CE/AC
而AE²/BC²=(AC²-CE²)/(AB²-AC²)
=[(AC-CE)/(AB-AC)]*[(AC+CE)/(AB+AC)]
令AC/AB=CE/AC=k (k>0)
∴AC=kAB，CE=kAC
∴[(AC-CE)/(AB-AC)]*[(AC+CE)/(AB+AC)]
=[(kAB-kAC)/(AB-AC)]*[(kAB+kAC)/(AB+AC)]
=k²
∴AE/BC=k=CE/AC
又∠AEC=∠BCA=90°
∴Rt△AEC∽Rt△BCA
∴∠ECA=∠CAB
∴DC=DA
又∠ECA+∠DCB=90°
∠CAB+∠DBC=90°
∴∠DCB=∠DBC
∴DC=DB
∴DA=DB
∴点D为AB的中点