Question

涉及概率论的一道题，求解答！！

马戏团来到了小镇上，他们出售漂亮的英雄卡牌，卡牌一套有若干张，每张售价为10金币，但很遗憾的是，每次你去购买，只能随机抽取其中一张，每次抽取时每张卡牌的出现几率都相同，
（1）如果卡牌一套为6张，请问你在数学期望上需要多少金币，才能集齐所有的卡牌？
（2）马戏团老板开始盘算手头的生意，他希望从每个收齐卡牌的人身上赚到300个金币。请问，他至少需要设计多少张英雄卡牌，才能完成预计的收入？（不计算卡牌成本）
我不要答案，要知道怎么算的！！！

Answer 1

收集第一张，需要1次
收集第二张，概率是5/6，需要6/5次
收集第三张，概率是4/6，需要6/4次
收集第四张，概率是3/6，需要6/3次
收集第五张，概率是2/6，需要6/2次
收集第六张，概率是1/6，需要6/1次
所以理论上总共需要1+6/5+6/4+6/3+6/2+6/1=14.7次
需要14.7*10=147个金币

设需要至少x张卡牌，能完成预计收入，则
1+x/（x-1）+x/（x-2）+···+x/3+x/2+x/1≥300/10
得x≥11（可以取10试着带入，最后是29.3，所以11肯定满足）
所以至少要设计11张牌。

解毕！~

追问

答案是我觉得是对的，但是我想问一下：你怎么求出6/5,6/4,6/3,6/2,6/1的？
我自己算的话，比如收集第二张牌：
期望E=5/6 * 10 + 1/6 * 5/6 * 10*2 + ......+(1/6)^n * 5/6 * 10*n
两边乘以1/6相减得到等比数列E=10 * (1-(1/6)^n)/(1-1/6)=10*6/5 (n趋向于正无穷)
这样算计算量略大一点，请问你怎么直接得出来的呢？

追答

比如第二张，一次收集到它的概率是5/6，那么收集一张它就需要6/5次。5/6的单位是/ 次，倒数就是次。

Answer 2

设ai, i= 1,2,...,6, 为手中总共拥有 i 种卡的状态。 每买一次卡，使得拥有卡的种数发生可能改变。设M为取一次卡，则有
Ma1 = 1/6a1 + 5/6a2,
即： 如果取前手中只有一种卡。 取后，有 1/6的概率 抽到已有的卡，于是仍只拥有1种卡，5/6的概率取到一张新卡，于是拥有两种卡。
同理，有：
Ma2 = 2/6a2 + 4/6a3,
Ma3 = 3/6a3 + 3/6a4,
Ma4 = 4/6a4 + 2/6a5,
Ma5 = 5/6a5 + 2/6a6,
Ma6 = a6,

于是可以把M看作 {ai,i=1,2,...,6}所生成线性空间上的线性变换。
取过一次后，到达a1, 即 x=(1,0,0,0,0.0),
而取n+1次后， 达到 M^n(x). 设 yn 为M^n(x)的第6个坐标的值。则 （yn-y(n-1)）为正好第n+1次取到第6张卡的概率。

所求需要张数的期望值为： (yn-y(n-1))*(n+1) 对n=5,6,....的求和。
计算量比较大，我计算了：
yn= -(1/6)^n + 5(2/6)^n - 10(3/6)^n + 10(4/6)^n - (5/6)^n + 1

接下来的计算 涉及到 对 na^n 这种形式的级数求和，自己算吧。

方法不清楚，可以继续问。

第二问，是通过改变卡的种类数，使得第一问的期望值 超过 300/10=30. 可以把第一问的6改成一般的n 来处理。

Answer 3

设k次购买才能集齐卡片，显然k≥6
思考：最后一次抽得一张卡片，前k-1次集齐其它5张卡片，所以
P{x=k}=6 * A(k-1,5) * 5^(k-6) / 6^k
数学期望上需要金币 为 Eξ = ∑ P{x=k}*10k （k≥6）
这个Eξ应该是有一个收敛极限的，但是我不会求:-(