Question

用闭区间套定理证明零点定理

求过程谢谢

Answer 1

不妨设f(a)<0<f(b)。记c＝(a+b)/2，若f(c)＝0，结论成立。
若f(c)>0，则记[a1,b1]=[a,c]；若f(c)<0，则记[a1，b1]=[c,b]。
再记c1=(a1+b1)/2，若f(c1)＝0，结论成立；
若f(c1)>0，则记[a2,b2]=[a1,c1]；若f(c1)<0，则记[a2,b2]=[c1,b1]。
继续下去，或者到某一步有f(ck)=f[(ak+bk)/2]=0，此时结论成立。
或者此过程可无限做下去，因此得到一区间套序列{[an,bn]}，满足：
(1)，[a1,b1]包含[a2,b2]包含[a3,b3]包含...，
(2)，bn－an=(b－a)/2^n趋于0，当n趋于无穷；
(3)，f(an)<0<f(bn)，n＝1，2，3，...。
由闭区间套定理，存在c位于所有的区间，即an<=c<=bn，对n都成立，
且an和bn都趋于c。由f(x)在c的连续性有
f(c)＝lim f(an)<=0，
f(c)＝lim f(bn)>=0，
因此f(c)＝0。显然由于f(a)<0<f(b)知道c不是a，b。因此a<c<b。
证毕。

Answer 2

即要证：若函数g在[a,b]上连续，g(a)<0，g(b)>0，则存在x0∈(a,b)，使g(x0)=0
将[a,b]等分为两个子区间[a,c]与[c,b].
若g(c)=0，则c为所求；
若g(c)≠0，则当g(c)>0时，记[a1,b1]=[a,c]
当g(c)<0时，记[a1,b1]=[c,b].
于是有g(a1)<0，g(b1)>0，且[a1,b1]含于[a,b]，b1-a1=(1/2)*(b-a)
再从区间[a1,b1]出发，重复上述过程，得到：
或者在[a1,b1]的中点c1处有g(c1)=0，
或者有闭区间[a2,b2]，满足g(a2)<0，g(b2)>0，且[a2,b2]含于[a1,b1]，b2-a2=(1/2^2)*(b-a)
将上述过程不断地进行下去，可能有两情形：
1、在某区间的中点ci处有g(ci)=0，则ci为所求
2、在任一区间的中点ci处均有g(ci)≠0，则得到闭区间列{[an,bn]}满足g(an)<0，g(bn)>0，且
[a(n+1),b(n+1)]含于[an,bn]，bn-an=(1/2^n)*(b-a)，n=1，2，……
根据区间套定理，存在点x0∈[an,bn]，n=1,2,…，且lim an=lim bn=x0
下证g(x0)=0，又有g在x0处连续，所以由归结原则得：
g(x0)=lim g(an)≤0，g(x0)=lim g(bn)≥0
那么，
g(x0)=0
因此，
若函数g在[a,b]上连续，g(a)<0，g(b)>0，则存在x0∈(a,b)，使g(x0)=0

有不懂欢迎追问

Answer 3

好久不做数学分析题了，生疏了。试试

设f(x)为连续函数，且f(a)f(b)<0，则存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0
1、取a，b中点(a+b)/2，若f((a+b)/2)=0，则ξ已找到；
否则：若f((a+b)/2)与f(a)异号，则记a1=a，b1=(a+b)/2；
若f((a+b)/2)与f(b)异号，则记a1=(a+b)/2，b1=b；
则此时有f(a1)f(b1)<0，且 [a1，b1] 包含在[a，b]中，b1-a1=(b-a)/2

2、取a1，b1中点(a1+b1)/2，重复这一步骤；
....................
这样如果所有的中点都不是零点，我们得到一系列闭区间套
[an，bn]，由于每个区间长度都是前一个的一半，因此区间长度趋于0，
由闭区间套定理，当n→∞时，存在唯一的常数ξ，属于所有的闭区间，则f(ξ)=0

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