Question

如图,圆O的半径为R,求圆O的内接正六边形,圆O的内接正六边形,圆O的外切正六边形的边长比AB：

如图,圆O的半径为R,求圆O的内接正六边形,圆O的内接正六边形,圆O的外切正六边形的边长比AB：A'B'和面积比S内：S外

Answer 1

圆的外切正六边形，与同圆内接正六边形是相似形，其相似比等于边长的比；边心距的比。面积比等于相似比的平方。因为圆外切正六边形的边心距等于该圆的半径R，，它与圆内接正六边形的边心距r的关系是：R/r=1/cos30°，所以R/r=2根3/3.故AB/A..B..=2根3/3 。s内/s外=3/4.

Answer 2

AB：A'B'=2×R×0.5：2×R×1/根号3=根号3：2
S内：S外=（AB：A'B'）平方=3；4

Answer 3

对圆内接正六边形，连接圆心和正六边形相邻的两个顶点，把正六边形分成六个全等三角形
每边所对圆心角为360/6=60度，且由于圆心到两个顶点距离相等，都为半径R
所以每个三角形都是等边三角形，因此正六边形边长等于圆半径
对于圆外切正六边形，从圆心作每边垂线，再连接圆心和该边一个顶点。
这样得到一个直角三角形，由于连接圆心和该边两个顶点所得三角形为等边三角形
所以直角三角形一个内角为60度，圆半径：边长=√3：2
AB：A′B′=√3：2
由于两个六边形都是正六边形，所以两图形相似
面积比为相似比平方，因此面积比为3：4