Question

在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=60°,∠B+∠CDA=180°,AC=m,求四边形ABCD的面积

Answer 1

延长CD到E,使DE=CB,连接AE

因为角B+CDA=180度,角ADE+CDA=180度

所以角B=ADE

因为BC=DE,AB=AD

所以三角形ABC与ADE全等

所以角BAC=DAE,AC=AE

所以角CAE=BAD=60度

所以三角形ACE是正三角形

过A作AF垂直CD于F

所以CE=AC=m,CF=1/2m,AF=1/2m根号3

所以三角形ACE面积=1/4根号3乘m平方

即四边形ABCD面积=1/4根号3乘m平方

Answer 2

分析，本题设计很巧妙，利用构造三角形，或利用旋转都可以做。

解，延长CD到E，使DE=BC，再连接AE。
∠B+∠CDA=180
∠EDA+∠CDA=180º
∴∠B=∠EDA
又，AB=AD
∴△ABC≌△ADE(边角边)
∴AC=AE，且∠BAC=∠DAE
又∠BAD=∠BAC+∠CAD=60º
∴∠CAE=∠DAE+∠CAD=60º
∴△ACE是等边三角形。
AC=m
∴S(△ACE)=√3m²/4
S(四边形ABCD)=S(△ABC)+S(△ACD)
=S(△ADE)+S(△ACD)
=S(△ACE)
=√3m²/4
∴S(四边形ABCD)=√3m²/4。

Answer 3

因∠B+∠D=180°，该四点共同圆，有∠BAD+∠BCD=180°，∠BCD=180°－60°＝120°；
由∠BAD=60°知，∠ACB＝∠ACD＝60°，且因AB＝AD，所以BD＝AB＝AD，ABD正三角形；
四边形ABCD面积＝AB*AC*[sin(∠BAC)+sin(∠DAC)]/2
=AB*m*[sin(∠BAC)+sIn(60°-∠BAC)]/2
=AB*m*[sin(60°+∠BAC)]/2
=AB*m*[sin(∠B)]/2；
在三角形ABC中，由
正弦定理
：AB/sin(∠ACB)=AC/sin(∠ABC)，即
AB=AC*sin60°/sin(∠B)；
四边形面积＝[m*sin60°/sin(∠B)]*m*[sin(∠B)]/2=√3*m^2/4；

Answer 4

√3/2m²