Question

如图,△ABD中,∠ADB=45°,⊙O经过A,B,D三点,弦BE=BD,过A作AM⊥ED于M.（1）求证AM是切线（2）若∠ABD为22.5

，DM=1，求圆O的半径

Answer 1

（1）∵BE=BD

∴∠BOE=∠BOD

又BO=OE=OD

∴∠EBO=∠DBO，即BO是∠EBD角平分线

又BE=BD

∴BO垂直平分ED

∵∠ADB=45°

∴∠BOA=2∠ADB=90°，即BO⊥AO

∴AO∥DE

∵AM⊥ED

∴AM⊥AO

∴AM是切线

（2）∵∠ABD=22.5°

∴∠DBF=∠ABO-∠ABD=22.5°

∠DBE=2∠DBF=45°

∠DOE=2∠DBE=90°

又∠AOB=90°=∠DOE

∴DE=AB=根号2*r（r为半径）

四边形AOFM是矩形

∴AM=OF

∵BF是DE垂直平分线，又EO=DO，O在BF上

∴OF是∠DOE角平分线

∴∠FOE=45°

∴OF=根号2/2*r=AM

∵AM是圆的切线

∴AM²=MD*ME

即（根号2/2*r）²=1*（根号2*r+1）

解之得r=根号2±2

∵r>0

∴r=根号2+2