Question

设f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数,且对任意x,y属于(0,正无穷),都有f(xy)=f(x)+f(y)

(1)求证：f(y分之x)=f(x)-f(y) （2）若f(3)=1,且f(a)大于f(a-1)+2，求实数a的取值范围

Answer 1

设f(x)是定义在(0,正无穷)上的增函数,且对任意x,y属于(0,正无穷),都有f(xy)=f(x)+f(y)
(1)求证：f(x/y)=f(x)-f(y)
f(y/y)=f(y)+f(1/y)
f(1)=f(y)+f(1/y)
f(x)+f(1)=f(y)+f(x)+f(1/y)
f(x)=f(y)+f(x/y)
f(x)=f(y)+f(x/y)
f(x/y)=f(x)-f(y)

(2)若f(3)=1,且f(a)大于f(a-1)+2，求实数a的取值范围
f(a)>f(a-1)+2
f(a)-f(a-1)>2
f(9)=f(3)+f(3)=2
f(a)-f(a-1)>f(9)
f(a/(a-1))>f(9)
f(x) 增函数
a/(a-1)>9
a-1>0 a>1
a>9a-9
a<8/9
无解

a-1<0 a<1
a<9a-9
a>8/9
8/9<a<1