Question

函数的证明题，高等数学

函数f（x）定义域和值域都为全体实数r，且在全体实数r上可导，且存在一个属于（0,1）的实数a，对任意的定义域内的x，f（x）的导函数的绝对值小于a，设g（x）=x-f（x），证明1：使用拉格朗日中值定理证明，选择足够大的正数k，l,存在g（-k）<0，g(L)>0。2：证明在定义域内存在一个x*，使得f(x*)=x*成立。3：证明第二问中的的x*是唯一的。4：从定义域中任意选择一个x0，使得x1=f（x0），x2=f（x1），x3=f（x4），x4=f（x5）........xn=f（xn-1），证明这样的实数列xn是收敛的，并证明n趋近于无穷时xn趋近于x* （上一问中的x*）
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Answer 1

慢慢的一题一题来。
1、对任意的x>0，有g(x)-g(0)=g'(c)x=(1-f'(c))x>=(1-a)x。即
g(x)>g(0)+(1-a)x。当x趋于正无穷时，g(0)+(1-a)x趋于正无穷，因此g(x)趋于正无穷，
故存在充分大的数L，使得g(L)>0。
类似的，当x<0时，用g(x)-g(0)<=(1-a)x可得存在充分大的数K，使得g(-K)<0。
2、g(x)在【-K，L】上连续，有连续函数的零点定理，存在x*位于（-K，L），使得
g(x*)=0，即f(x*)=x*。
3、设还有y*满足f(y*)=y(*)，则|x*-y*|=|f(x*)-f(y*)|=|f'(d)|*|x*-y*|<=a|x*-y*|，即
(1-a)|x*-y*|<=0，由于1-a>0，因此只能有x*=y*。即唯一性成立。
4、|xn-x(n-1)|=|f(x(n-1))-f(x(n-2))|=|f'(m)|*|x(n-1)-x(n-2)|<=a|x(n-1)-x(n-2)|，对任意的n>2成立。
继续推导下去有|xn-x(n-1)|<=a^2|x(n-2)-x(n-3)|<...<=a^(n-1)|x1-x0|。利用此式有

于是|x(n+p)-x(n)|<=|x(n+p)-x(n+p-1)|+|x(n+p-1)-x(n+p-2)|+...+|x(n+1)-x(n)|
<=【a^(n+p-1)+a^(n+p-2)+...+a^(n)】|x1-x0|
<a^n/(1-a)*|x1-x0|。由于|x1-x0|/(1-a)是正常数，由此知道{xn}是Cauchy列，
故(xn}收敛。设lim xn=c，则在x(n+1)=f(xn)中令n趋于无穷得
c=f(c)，再由前面的结论知道c=x*。故
lim xn=x*。

Answer 2

能说句么 ，最讨厌数学了 ，所以 不会啊