Question

证明可逆映射的逆映射是唯一的

Answer 1

设g1和g2是f的逆映射，则fg1=g1f=i，fg2=g2f=i。所以g1=g1i=g1fg2=ig2=g2。以上i表示恒等映射。

设 f：A→B是集合A到集合B上的一一映射，如果对于B中每一个元素b，使b在A中的原象a和它对应，这样得到的映射称为映射 f：A→B的逆映射，记作 1/f：B→A。必须是一一对应的单射才能满足。

定义：

（1）单射：设f是集合A到集合B的一个映射，如果对于任意a，b属于A，当a不等于b时有f(a)不等于f(b)，则称f是A到B内的单映射 。

（2）满射：如果对任意的b属于B都有一个a属于A使得f（a）=b，则称f是A到B上的映射，或称f是A到B的满映射。

（3）逆映射：设有映射f：A->B,如果存在映射g：B->A使得g*f=IA，f*g=IB其中IA、IB分别是A与B上的恒等映射，则称g为f的逆映射。

逆映射，用较为通俗但不太严格的语言来表述，就是：设有映射f：A—B，若存在映射g：B—A，使得：

1）先执行f，再执行g，执行的结果是gf：A—A，即gf等于A上的恒等映射 ；

2）先执行g，再执行f，执行的结果是fg：B—B，即fg等于B上的恒等映射，则g叫做f的逆映射。画一个图，更直观。

Answer 2

设g1和g2是f的逆映射，则fg1=g1f=i，fg2=g2f=i。所以g1=g1i=g1fg2=ig2=g2。
以上i表示恒等映射。