Question

求教一道大一高数题！第六题，求教啊，不甚感激！

Answer 1

an=(a(n-1)+b(n-1))/2
bn=2a(n-1)b(n-1)/(a(n-1)+b(n-1))=2/(1/a(n-1) + 1/b(n-1))
由平均值不等式可知：算术平均数≥调和平均数
立即有：an≥bn
对于an=(a(n-1)+b(n-1))/2≤(a(n-1)+a(n-1))/2=a(n-1)
即，an单调递减
对于bn=2a(n-1)b(n-1)/(a(n-1)+b(n-1))
=2/(1/a(n-1) + 1/b(n-1))
≥2/(1/b(n-1) + 1/b(n-1))
=b(n-1)
即，bn单调递增
因此，a1≥an≥bn≥b1
即，an，bn都有界，由单调有界定理知：
an，bn都收敛

设lim an=A
则，lim an=lim (a(n-1)+b(n-1))/2=(lim a(n-1))/2 + (lim b(n-1))/2
即有，lim bn=A=lim an
an，bn具有相同极限

对于an：易知b1为an的下确界
对于bn：易知a1为bn的上确界
由此，可得lim an=b1；lim bn=a1

那么，a1=b1=√(a1b1)=√(ab)
因此，lim an=lim bn=√(ab)

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