Question

已知数列｛an｝满足a1=1,a(n+1)-an=4n-2(n∈N),使an≥163的正整数n的最小值是

Answer 1

an-a(n-1)=4(n-1)-2
a(n-1)-a(n-2)=4(n-2)-2
……
a3-a2=4*2-2
a2-a1=4*1-2
上述各式相加，可得
an-a1=4*[(n-1)+(n-2)+……+2+1]-2*(n-1)
=4*(n-1)*n/2-2*(n-1)
=2(n-1)²
an=a1+2(n-1)²=2n²-4n+3≥163
2n²-4n-160≥0
n²-2n-80≥0
(n+8)(n-10)≥0
n≤-8(舍去)或n≥10
所以使an≥163的正整数n的最小值是10

Answer 2

解：a2-a1=4*1-2
a3-a2=4*2-2
······
an-a(n-1)=4*(n-1)-2
两边同时加和：an-a1=4*n(n-1)/2-2(n-1)=2(n-1)^2
则an=2(n-1)^2+1
由2(n-1)^2+1>=163,得：n(min)=10