Question

如图，在等腰三角形ABC中，∠ABC=90°，D为AC边上的中点，过D点作DE垂直DF，交AB于点E，交BC于点F，

若AE=4，FC=3，求BF，BE的长。。。最晚等到九点半。我要的是原创的。。还要速度啊。。
图。

你们可以无视红色的F
快啊 急

Answer 1

 

解：连接BD，

∵△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°

∴∠C＝∠A＝45°

∵D为AC边上的中点

∴BD＝CD＝½AC（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）

∠ABD＝½∠ABC＝45°(三线合一）

BD⊥AC（三线合一）

∴∠BDF+∠FDC＝90°

∵ED⊥DF

∴∠EDB+∠BDF＝90°

∴∠EDB＝∠CDF

在△EBD与△FCD中

∠EBD＝∠C＝45°

BD＝CD

∠EDB＝∠CDF

∴△EBD≌△FCD

∴BE＝CF＝3

∵BC＝AB

∴BC-CF=AB-BE

即：BF=AE=4

Answer 2

 解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC，BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
又DE丄DF，
∴∠FDC=∠EDB，
∴△EDB≌△FDC，
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在直角三角形EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5 

Answer 3

1)∠ABC = ∠DBE = 45° ==> ∠ABD = ∠CBE
BA: BC = BD: BE = √2
符合相似三角形中的SAS情况。所以△ABD∽△CBE
(2) 由(1)可知，CE: AD = BC: BA， 而 BC: BA = √2，所以
BC - CE = √2（BA - AD) = √2 (AC- AD) = √2CD
(3) 过F做AC的垂线，交AC于点P。那么通过比较三个角可以得到△ABD∽△PDF，
所以PD: PF = AB:AD = 2:1, 即PD = 2PF。
△CPF是等腰直角三角形，所以PC = PF。
由此可以得知，DC ＝ PC+ PD = 3PF
而DC ＝ AC / 2 = 2/2 = 1，所以PF = 1/3，PD = 2/3
根据勾股定理，DF ＝ √（PF^2 + PD^2) ＝ √5 / 3

以上为纯初中算法，其实(3)也可直接利用三角函数去计算，tan∠ABC = 1, tan∠ABD = 1/2 可以算出tan∠CBD = 1/3。
因此DF = BD/3。 而BD ＝√（AB^2 + AD^2) = √5

Answer 4

显然角EDB = 角CDF（因为角EDB + 角BDF = 角CDF + 角BDF = 90度）,同时角EBD = 角DCF = 45度，同时BD = DC，所以三角形EDB与三角形FDC全等。所以EB = FC = 3，同理FB = AE = 4。祝学习进步。

Answer 5

解答：解：连接BD，
∵等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，
∴BD⊥AC（三线合一），BD=CD=AD，∠ABD=45°，
∴∠C=45°，
∴∠ABD=∠C，
又∵DE丄DF，
∴∠FDC+∠BDF=∠EDB+∠BDF，
∴∠FDC=∠EDB，
在△EDB与△FDC中，
∵
∠EBD=∠CBD=CD∠EDB=∠FDC
，
∴△EDB≌△FDC（ASA），
∴BE=FC=3，
∴AB=7，则BC=7，
∴BF=4，
在Rt△EBF中，
EF2=BE2+BF2=32+42，
∴EF=5．
答：EF的长为5．