Question

题目：设0<x0<1,Xn+1=Xn(2-Xn),求证，｛Xn｝收敛并求极限。

我想知道导数怎么就大于0了，0<x<1,是怎么的到的？还有前面已经证明了导数大于0，就递增了，为什么后面还有再证明一遍X1-X0>0，单调上升呢？

Answer 1

1、有界性的证明用的是数学归纳法
条件：0<x0<1，此时推出了0<x1<1，然后假设0<xn<1，推出了0<x(n+1)<1，这样就证明了所有的{xn}全在(0,1)之间。

2、证明了f '(x)>0，只能说明f(x)是单增函数，并不能说明数列是单增数列。
比如：取x0=2，可算出x1=2(2-2)=0，不是单增。

3、由于刚才没有证明数列是单增的，因此下面需要证明数列单增，这里答案写得比较略，可能你没看明白。我解释一下：
由于证明了x1-x0>0，即：x1>x0，而由于f(x)是单增函数，可得：f(x1)>f(x0)
注意到：f(x1)=x2，f(x0)=x1，这样就证明了x2>x1
同理：再由于f(x)单增，因此f(x2)>f(x1)，这样就证明了：x3>x2，.....以此类推，可得到数列是单增数列。

希望可以帮到你，不明白可以追问，如果解决了问题，请点下面的"选为满意回答"按钮，谢谢。

Answer 2

全书上说“递归数列的单调性与函数f（x）的单调性有关”，并没有直接说两者单调性是一致的。
也许正如qingshi0902所说的那样吧“证明了f '(x)>0，只能说明f(x)是单增函数，并不能说明数列是单增数列，f '(x)>0，x0∈(0,1)也不能说明数列单增，必须加上x1>x0这个条件”。
问的给力，答的精彩！ 小弟学习了。

参考文献：http://wenku.baidu.com/view/cf799b222f60ddccda38a02f.html （定理1）

Answer 3

f（x）=x（2-x）是生成函数，求导得f（x）=2（1-x）在（0，1)上不是恒正吗？因为初条件是0<x0<1由递推公式归纳法，得到对所有的xn都有0<xn<1。
设函数f（x）和证明f(x)单增的目的就是为了证X1-X0>0啊！