Question

当x∈[-1,t]函数f(x)=Ix-2I+I5-xI的值域为[3,9],则实数t的取值范围是

Answer 1

函数值域是函数这部分知识中最为重要的问题之一。求函数值域的方法也非常多，建议你把每种题型的特征抓住并搞清楚每种题型的解法。这样学起来才能游刃有余。

图象法是求与函数值域相关问题一种常用方法。本题函数f(x)=|x-2|+|5-x|可以化为分段函数（分段讨论去掉绝对值的符号），再作出它的图象：

 

观察这个函数图象，发现它有最小值是3，没有量大值。并且是在x∈[2，5]时，取得最小值。观察这个函数在[-1，t]的部分的图象。（观察图象是一种能力，不知你是否具备，如果不具备必须培养。尤其是会观察t不是确定的数时函数的图象）。该函数在x=-1时函数值为9，同时函数值为9的x值还可以是8。所以，当x∈[-1,t]函数f(x)=|x-2|+|5-x|的值域为[3，9]，t的取值范围是[2，8]。

这位同学，我还要告诉你的是，这个题目可以这么做不是最重要的，最重要的是为什么这个题可以这么做，自己如何想到这个题应该这样做。

最后祝你学习进步！

Answer 2

x>=5时，f(x)=x-2+x-5=2x-7, 最小值为3
2<x<5时,f(x)=x-2+5-x=3
x<=2时，f(x)=2-x+5-x=-2x+7, 最小值为3.
由于f(-1)=2+7=9， f(t)<=9
f(x)只在[2,5]区间达到最小值为3，所以t也需在此区间
所以若t>=5, 得：f(t)=2t-7<=9, 得：5=<t<=8
若2<t<5, 符合
综合得t的范围：[2,8]