Question

f(x)=lnx+(根号x)-1证明(1)当x>1时,f(x)<3/2(x-1);(2)当1<x<3时f(x)<9(x-1)/(x+5)

Answer 1

）(证法一)由均值不等式，当x＞0时，2x＋1•1＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1＜x2＋1.……7分
记h(x)＝f(x)－9xx＋6，则h′(x)＝1x＋1＋12x＋1－54x＋62＝2＋x＋12x＋1－54x＋62
＜x＋64x＋1－54x＋62＝x＋63－216x＋14x＋1x＋62. …………………………9分
令g(x)＝(x＋6)3－216(x＋1)，则当0＜x＜2时，g′(x)＝3(x＋6)2－216＜0.
因此g(x)在(0,2)内是递减函数，又由g(0)＝0，得g(x)＜0，所以h′(x)＜0.
因此h(x)在(0,2)内是递减函数，又h(0)＝0，得h(x)＜0.
于是当0＜x＜2时，f(x)<9xx＋6. …………………………12分
(证法二)
由（1）知f(x)＝ln(x＋1)＋x＋1－1.
由均值不等式，当x＞0时，2x＋1•1＜x＋1＋1＝x＋2，故x＋1＜x2＋1.①
令k(x)＝ln(x＋1)－x，则k(0)＝0，k′(x)＝1x＋1－1＝－xx＋1＜0，
故k(x)＜0，即ln(x＋1)＜x.②
由①②得，当x＞0时，f(x)＜32x.
记h(x)＝(x＋6)f(x)－9x，则当0＜x＜2时，h′(x)＝f(x)＋(x＋6)f′(x)－9
＜32x＋(x＋6)1x＋1＋12x＋1－9
＝12x＋1[3x(x＋1)＋(x＋6)(2＋x＋1)－18(x＋1)]
<12x＋1[3x(x＋1)＋(x＋6)3＋x2－18(x＋1)]
＝x4x＋1(7x－18)＜0.
因此h(x)在(0,2)内单调递减，又h(0)＝0，
所以h(x)＜0，即f(x)＜9xx＋6.

Answer 2

(1)求导即可
因为1/X+1/(根号x)在x大于1时小于3/2
（2）与第一问类似

Answer 3

递增函数
当x>1时,
f(x)>0