Question

同一特征值所指的特征向量是否线性无关？

书本上之所以只谈论不同特征值的特征向量线形无关是因为：对于同一特征值对应不同特征向量的求法实质为求方程组基础解系的问题，基础解系最重要特点就是线性无关，编书人觉得这个是很自然的情况也就没有单独列出来 。
这是我看到的一个解释，对吗？如果对的话，为什么“对于同一特征值对应不同特征向量的求法实质为求方程组基础解系的问题”？

Answer 1

对的。
特征向量是什么？是满足 (λⅠ-A)x=0 的非零解
当λ给定时， λⅠ-A 是一个给定矩阵，不妨记为B，
即求 BX=0 的非零解，那就回归到求方程组的基础解系。

若求得{η1，η2，...，ηm}是BX=0 的一个基础解系，则对应于λ的特征向量为
k1η1+k2η2+...+kmηm， 其中k1，k2，...，km是K中任意不全为零的数

追问

基础解系的确是非零解，可是非零解一定是基础解系吗？

追答

BX=0 基础解系的实质是该方程的解空间的一组基，
有了基础解系，那么方程的任一非零解都可由这组基线性表示。

回忆一下如何求基础解系？或者翻翻书本。

Answer 2

书本上之所以只谈论不同特征值的特征向量线形无关是因为：对于同一特征值对应不同特征向量的求法实质为求方程组基础解系的问题，基础解系最重要特点就是线性无关，编书人觉得这个是很自然的情况也就没有单独列出来
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