Question

正方体ABCD-A1B1C1D1中，M.N.E.F分别是棱长A1B1.A1D1.B1C1.C1D1的中点，求证：平面AMN//平面EFDB

Answer 1

证明：
正方形A1B1C1D1中，连接B1D1。
∵三角形A1B1D1中，A1M=(1/2)A1B1,A1N=(1/2)A1D1
∴MN‖B1D1.
∵B1D1‖BD
∴MN‖BD
∵M,F分别是A1B1,C1D1的中点
∴MF‖AD
∵正方体ABCD-A1B1C1D1中，
MF与AD平行且相等。
∴四边形是平行四边形。
∴AM‖DF
∵MN∩AM=M,BD∩DF=D
∴：平面AMN‖平面EFDB

Answer 2

（1）证明：∵MN∥EF，∴MN∥平面EFDB．
又AM∥DF，
∴AM∥平面EFDB．而MN∩AM=M，
∴平面AMN∥平面EFDB．
（2）解：∵BE⊂平面EFDB，MN⊂平面AMN，且平面AMN∥平面EFDB，
∴BE与MN之间的距离等于两平行平面之间的距离．
作出这两个平面与平面A1ACC1的交线AP、OQ，作OH⊥AP于H．
∵DB⊥平面A1ACC1，
∴DB⊥OH．而MN∥DB，∴OH⊥MN．
则OH⊥平面AMN．
∵A1P=24a，AP=3
24a，
设∠A1AP=θ，则cosθ=a3
24a=2
23，
∴OH=AO•sinθ=22a•2
23a=23a．
∴异面直线BE与MN的距离是23a．