Question

线性代数-矩阵的秩

下面这段话不太明白，为什么“根据行列式展开定理，阶数大于r的子式都是零”？谁能解释一下，详细些！

原文：如果在矩阵A中所有的r阶子式都等于零，根据行列式展开定理，此时可以断定A中的所有阶数大于r的子式也都等于零。
谢谢回答，我想知道证明过程，因为我看的书过程都省略掉了

Answer 1

一、这里r阶子式是指r阶子式的行列式。
二、对于任意选定一个阶数为r+1的子式，该子式的行列式可以按照行列式展开定理展开，使得展开式为数乘r阶子式行列式的加和的形式。因为所有r阶子式的行列式均为0，于是任意选定的阶数为r+1的子式的行列式为0。重复上面的过程，可以断定A中的所有阶数大于r的子式也都等于零。

补充说明：上面行列式展开时，是按一行（或者一列也行）展开的。事实上，也有按多行展开的行列式展开定理。如果直接用按多行展开，则不需要上面的归纳过程，而可以直接得到结果。

Answer 2

证明方法很多，不知道你懂不懂哈
1.矩阵对应的行列式可以通过行展开或者列展开，如果所有的r阶子式都为零，那么r+1阶的行列式通过展开就等于0*a+0*b+0*b+..=0.由此推出所有大于r阶的子式都等于零。
2.通过秩的方法也能证，矩阵对应行列式的值等于所有特征值的乘积，由已知可得，至少有一个特征值为0，即证。

Answer 3

1.矩阵对应的行列式可以通过行展开或者列展开，如果所有的r阶子式都为零，那么r+1阶的行列式通过展开就等于0*a+0*b+0*b+..=0.由此推出所有大于r阶的子式都等于零。
2.通过秩的方法也能证，矩阵对应行列式的值等于所有特征值的乘积，由已知可得，至少有一个特征值为0，即证。

Answer 4

这是一个定理，直接用这个结果就可以了

Answer 5