Question

求解同余方程组，求详细过程。

x≡1(mod 6)
x≡4(mod 9)
x≡7(mod 15)

Answer 1

x+5可被6和9整除，即x+5可被18整除，那么x+5+18=x+23可被18整除
x+8可被15整除，那么x+8+15=x+23可被15整除
所以，x+23可被(15,18)=90整除，
则x≡67（mod 90）

Answer 2

由上面的同余方程可知，x+23可以被6，9和15整除，所以有
x+23 = （6，9，15）*n，其中（a,b,c）表示a,b,c的最小公倍数，n是任意整数；
即x=90*n-23

Answer 3

x≡1(mod 6)
x≡4(mod 9)
x≡7(mod 15)

解：
以下同余号≡也用==表示。
x≡1(mod 6) 等价于x==1 mod 2且x==1 mod 3
x==7 mod 15 等价于x==1 mod 3且x==2 mod 5
x==4 mod 9蕴含了 x==1 mod 3
于是原同余式组等价于
x==1 mod 2
x==4 mod 9
x==2 mod 5
下面是中国剩余定理的等价解法。
令x == 9*5 a +2*5 b+ 2*9 c mod 2*9*5 亦即 x = 9*5 a +2*5 b+ 2*9 c + 2*9*5 k
代入原同余式组，得
a ==1 mod 2, b==4 mod 9, c==-1 mod 5
取其代表值即可。如 a=1, b=4, c=-1，得到
x==67 mod 90

外一则：我的计算过程：
x==
1 @ 2
4 @ 9
-1 @ 5
=>17@ 18 或-1 @ 18
=67mod 90 或 -23 mod 90

注：
这里的@表示模积计数表示，是我的一种特殊算法，可以方便的计算这类表达式。详见我的相关答题或空间中关于中国剩余定理的文章。

楼上几位朋友们则是通过观察找到了快速解法。也可以阐述如下：
x≡1(mod 6)
x≡4(mod 9)
x≡7(mod 15)
解：易见
x==-5 mod 6
x==-5 mod 9
故 x==-5 mod lcm[6,9] 注：lcm表示最小公倍数。
即x==-5 mod 18
又观察到 x==-23 mod 18
x==-8==-23 mod 5
故x==-23 mod lcm[18,5]
即x==-23==67 mod 90