Question

已知函数f(x)=x^2+a/x(a∈R)

1. 若a=-1, 判断函数f(x)在（0，+∞)的单调性；
2. 若f(x)在区间[2,+∞)是增函数，求实数a的取值范围

Answer 1

1、可以用求导来判断函数单调性
当a=-1时，f(x)=x^2-1/x x ∈(0，+∞)
f ' (x)=2x+1/x^2
因为 x ∈(0，+∞) 且x^2恒大于0
所以 f ' (x) 在（0，+∞)上恒大于0，即原函数f(x) 在（0，+∞)上单调递增
2、f ' (x)=2x-a/x^2
由题 f(x)在区间[2,+∞)是增函数
所以，f ' (x)=2x-a/x^2 在[2,+∞) 上恒大于0
所以 a<2x^3 在[2,+∞) 上恒成立
令 g(x)=2x^3 x∈[2,+∞) 则a<g(x)min
易知 g(x) 为单调增函数
所以 g(x)min=g(2)=16
所以 a<16

如果没有学过导数，可以用单调性的定义来解题
即设x1,x2∈(0，+∞)，且x1<x2
然后通过计算f(x)1)- f(x2)=(x1^2-x2^2)+(1/x2-1/x1) 与0进行比较，来判断函数的单调性

希望我的讲解能对你有所帮助！

Answer 2

f(x)=(x²+a)/x=x+(a/x)
1，当a=-1时，f(x)=x-(1/x)
设0<x1<x2，f(x1)-f(x2)=x1-x2-(1/x1)+(1/x2)
=(x1-x2)+(x1-x2)/x1*x2
=(x1-x2)*(1+1/x1*x2)
因为0<x1<x2，所以x1-x2<0，x1*x2>0
所以(x1-x2)*(1+1/x1*x2)<0，即f(x1)-f(x2)<0，所以f(x1)<f(x2)
而0<x1<x2，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增
2，设2≤x1<x2，f(x1)-f(x2)=x1-x2+a(1/x1)-a(1/x2)
=(x1-x2)-a(x1-x2)/x1*x2
=(x1-x2)*(1-a/x1*x2)
因为2≤x1<x2，所以x1-x2<0，x1*x2>4
因为f(x)在[2，+∞)上是增函数，所以f(x1)<f(x2)，即f(x1)-f(x2)<0
而x1-x2<0，所以1-a/x1*x2>0，所以a/x1*x2<1，所以a<x1*x2，
而x1*x2>4，所以a≤4，即所以实数a的取值范围为(-∞，4]

追问

我的提问是f(x)=x^2+a/x(a∈R),不是f(x)=(x^+a)/x ,没有加括号，麻烦你再看看，谢谢！

追答

额，楼下已经有人做了……

Answer 3

这个我不会