Question

一道线性代数的题，求解答

设a1 a2 。。。an属于Rn是n个线性无关的向量
an+1=k1a1+。。。+knan 其中k1 k2 。。kn全不为0证明a1。。。an+1中任意n个向量线性无关。

Answer 1

若n个向量不含a(n+1)，由题设他们线性无关
若包含a(n+1),不妨考虑方程c1a1+c2a2+……+c(n-1)a(n-1)+cna(n+1)
=(c1+cnk1)a1+(c2+cnk2)a2+……+(c(n-1)+cnk(n-1))a(n-1)+cnknan=0
因为a1 a2 。。。an线性无关，所以c1+cnk1=c2+cnk2=……=c(n-1)+cnk(n-1)=cnkn=0,
但kn不等零，所以cn=0,故c1=c2=……=cn=0
即a1,a2,……,a(n-1),a(n+1)线性无关
证毕。