Question

如图,等腰直角三角形ABC中,角ACB=90度,D为CB延长线上一点,AE=AD,且AE垂直AD,BE与AC的延长线交于点P.

(1)求证：BP=PE:
(2)若AC=3PC,求DB:BC的值。

Answer 1

 

延长EA至E1，使E1A=EA，作AB1//CB,BB1//AC,两线交于B1,连B1E1

关健要证E1B1B三点共线，然后就可以用中线证第一问

辅助线相当于向上作了一个等腰直角三角形和一个正方形，

角E1AB1=角CAD(角E1AC是由它们加一个直角组成的)边角边证DAC全等E1AB1

由两直角可证得共线，第一问得证

第二问，过C作CM//AE,延长BC交AE于N

已知中的3/1可知EM/MP=3/1   ->  EM/MB=3/5  ->  NC/CB=NC/AC=AC/CD=BC/CD=3/5->

BC/(BD+BC)=3/5->DB:BC=2/3

Answer 2

（1）
过E作EF⊥AC交AC延长线于F
∵AE⊥AD，∠CAB=45°
∴∠EAF+∠BAD=45°
又∵∠BAD+∠ADC=∠ABC=45°
∴∠EAF=∠ADC
在△DAC与△AEF中
∠ACD=∠EFA=90°
∠ADC=∠EAF
AD=AE
∴△DAC≌△AEF（AAS）
∴EF=AC
又AC=BC
∴BC=EF
在△BCP与△EFP中
∠CPB=∠FPC
∠ACD=∠EFA
BC=EF
∴△BCP≌△EFP（AAS）
∴BP=PE

（2）
∵AC=3PC，PC=PF（BC=EF，EF∥BC）
∴AF=AC+CP+PF=3PC+PC+PC=5PC
又∵△DAC≌△AEF（已证）
∴DC=AF=5PC
∵BC=AC=3PC，DB=DC-BC=2PC
∴DB/BC=2/3