Question

△ABCD中，BD平分∠ABC，AD⊥BD于点D，点E为AC的中点，求证DE∥BC

Answer 1

取AB中点F，连接DF、EF

则DF是直角ΔABD斜边上的中线，故FD=FB=FA

∴∠1=∠3，而∠1=∠2，∴∠2=∠3

∴DF∥BC

又∵E、F分别是AB、AC中点，即EF是ΔABC中位线，故EF∥BC

于是EF和DF都平行于BC，但是根据平行线公理，“经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”

∴EF和DF在一条直线上，即E、D、F三点共线，∴DE∥BC

Answer 2

延长AD,交BC于点F,
在三角形ABD和三角形BFD中,
BD=BD,角1=角2,角ADB=角FDB=90度,
所以三角形ABD全等三角形BFD,
所以AD=FD,
又因为E为AC中点,则AE=CE
所以DE∥BC