Question

如图：在RT△ABC中，∠ACB=90,AC=BC,D 为BC的中点，CE⊥AC,垂足为E,BF//AC交CE的长线于点F。

求证：AB垂直平分DF

Answer 1

证明：
因为CF⊥AD,垂足为E,
所以∠CED=90,
所以∠DCE+∠CDE=90,
因为∠ACD=90
所以∠CAD+∠ADC=90
所以∠CAD=∠DCE
因为BF∥AC
所以∠CBF=∠ACB=90,
又AC=CB
所以△ACD≌△CBF
所以CD=BF
因为D是BC中点
所以CD=BD
所以BD=BF,
因为等腰直角三角形ABC中，∠CBA=45°，
所以∠ABF=∠CBF-∠CBA=90-45=45°
所以∠DBA=∠FBA
又AB为公共边
所以△ABD≌△ABF
所以BD=BF,AD=AF
所以B是DF垂直平分线上的点，A是DF垂直平分线上的点
所以AB垂直平分DF

Answer 2

证明：
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．
∴CD=BF．
∵CD=BD= 1/2BC
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF．

Answer 3

证明：
∵∠BCE+∠ACE=90°，∠ACE+∠CAE=90°，
∴∠BCE=∠CAE．
∵AC⊥BC，BF∥AC．
∴BF⊥BC．
∴∠ACD=∠CBF=90°，
∵AC=CB，
∴△ACD≌△CBF．
∴CD=BF．
∵CD=BD= 1/2BC
∴BF=BD．
∴△BFD为等腰直角三角形．
∵∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠ABC=45°．
∵∠FBD=90°，
∴∠ABF=45°．
∴∠ABC=∠ABF，即BA是∠FBD的平分线．
∴BA是FD边上的高线，BA又是边FD的中线，
即AB垂直平分DF． ◆本题中的条件表达有误,原题中应该有条件:CE⊥AD,垂足为E.证明:设AB交DF于M.
∵BF平行AC.
∴∠ABF=∠ACD=90º;∠FBM=∠DBM=45º.
又CB=AC;∠BCF=∠CAD(均为∠ACE的余角).
∴⊿CBF≌⊿ACD(ASA),BF=CD=BD;
∴AB垂直平分DF.(等腰三角形"三线合一")

Answer 4

◆本题中的条件表达有误,原题中应该有条件:CE⊥AD,垂足为E.
证明:设AB交DF于M.
∵BF平行AC.
∴∠ABF=∠ACD=90º;∠FBM=∠DBM=45º.
又CB=AC;∠BCF=∠CAD(均为∠ACE的余角).
∴⊿CBF≌⊿ACD(ASA),BF=CD=BD;
∴AB垂直平分DF.(等腰三角形"三线合一")